递归
线性递归
例子1：数组求和
int sum( int A[], int n) { //数组求和算法：线性递归版
if ( 1 > n ) //平凡情况，递归基
return 0; //直接计算
else //一般情况
return sum(A, n-1) + A[n - 1]; //递归：前n-1项之和，再累计第n-1项
}每一递归实例对自身的调用至多一次。于是，每一层次上至多只有一个实例，且它们构成一个线性的次序关系。此类递归模式称作“线性递归”，这是递归最基本形式。
递归算法必须设置递归基，且确保总能执行到。针对每一类可能出现的平凡情况，都需设置对应的递归基。递归基可能不止一个。
例子2：数组倒置
数组倒置算法的统一入口：
void reverse(int*, int, int); //重载的倒置算法原型
void reverse(int* A, int n) //数组倒置
{ reverse(A, 0, n-1); } //由重载的入口启动递归或迭代算法void reverse(int* A, int lo, int hi) { //数组倒置(多递归基版)
if（lo < hi) {
swap( A[li], A[hi] ); //交换
reverse(A, lo+1, hi-1 ); //递归倒置A(lo,hi)
} //else隐含了两种递归基
}尾递归及其消除
在线性递归算法中，若递归调用在递归实例中恰好以最后一步操作的形式出现，则称作尾递归。上述数组倒置算法就是典型的尾递归。
尾递归形式的算法，可以转换为等效的迭代版本：
void reverse(int* A, int lo, int hi) { //数组倒置(迭代版)
next: //算法起始位置添加跳转标志
if (lo < hi) {
swap( A[lo], A[hi] ); //交换
lo ++; hi-- ; //收缩待倒置区间
goto next; //跳转至起始位置
} //else隐含了迭代的终止
}goto语句最好尽力回避，所以进一步调整，消除goto语句
void reverse( int* A, int lo, int hi) {
while(lo < hi)
swap(A[lo++], A[hi--]);
}二分递归
每一递归实例可能做多次递归，故称作”多路递归“。通常都是将原问题一分为二，故称作”二分递归”。
例子1：数组求和（二分递归版）
int sum(int A[], int lo, int hi) { //数组求和算法：二分递归版
if (lo == hi)
return A[lo]; //直接返回
else {
int mi = (lo + hi) >> 1; //以居中单元为界，将原区间一分为二
return sum(A,lo,mi) + sum(A,mi+1,hi); //递归对各子数组求和，然后合计
}
}例子2：Fibonacci数：二分递归
考查Fibonacci数列第n项fib(n)的计算问题，该数列定义如下：
fib(n) = n; n <= 1
fib(n) = fib(n-1) + fib(n-2); n>= 2
二分递归版：
_int64 fib( int n ) { //计算Fibonacci数列的第n项
return ( 2 > n ) ?
(_int64) n //若到达递归基，直接取值
: fib(n - 1) + fib(n - 2); //否则，递归计算前两项，其和即为正解这种算法虽然简洁，但是效率及其低下，这是指数复杂度算法，时间复杂度为O(2^n)。
优化策略：
借助一定量的辅助空间，在各子问题求解之后，及时记录下其对应的解答。
1.制表或记忆策略
线性递归版：
_int64 fib(int n, _int64& prev) { //计算Fibonacci数列第n项:入口形式fib(n,prev)
if ( n == 0) //若到达递归基
{ prev = 1; return 0; } //直接取值:fib(-1) = 1, fib(0) = 0
else {
_int64 prevPrev; prev = fib(n-1,prevPrev); //递归计算前两项
return prevPrev + prev; //其和即为正解
}
}//用辅助变量记录前一项，返回数列的当前项，时间复杂度为O(n)2.动态规划策略
在以上线性递归版fib()算法可见，其中所记录每一个子问题的解答，只会用到一次，在该算法抵达递归基之后的逐层返回过程中，每向上返回一层，以下各层的解答均不必继续保留。
迭代版：
_int64 fibI( int n ) { //计算Fibonacci数列的第n项(迭代版):O(n)
_int64 f = 1, g = 0; //初始化：fib(-1),fib(0)
while(n-- > 0) { g += f; f = g - f; } //依据原始定义，通过n次加法和减法计算fib(n)
return g;
}这里仅使用了两个中间变量f和g，记录当前的一对相邻的Fibonacci数。整个算法仅需线性步的迭代，时间复杂度为O(n)。