【BZOJ3456】城市规划

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题解

首先，点有标号！

设$f(n)$表示$n$个点组成的有标号连通无向图个数，$g(n)$表示$n$个点组成的有标号无向图个数（不要求连通）。那这个$g(n)$谁都会啦

$$g(n)=2^{n\choose 2}$$

可是有啥用呢

一个图是由若干强联通分量组成，令$i$为$1$节点所在强联通分量的大小，可以得到$g(n)$的又一表达式

$$g(n)=\sum_{i=1}^{n}{n-1\choose i-1}2^{n-i~~~\choose2}f(i)$$ 故 $$2^{n\choose 2}=\sum_{i=1}^{n}{n-1\choose i-1}2^{n-i~~~\choose2}f(i)=\sum_{i=1}^{n}\frac{(n-1)!}{(i-1)!(n-i)!}2^{n-i~~~\choose2}f(i)$$ 两边除以 $(n-1)!$得 $$\frac{2^{n\choose 2}}{(n-1)!}=\sum_{i=1}^{n}\frac{2^{n-i~~~\choose2}f(i)}{(i-1)!(n-i)!}$$ 设 $$p(x)=\frac{2^{x\choose2}}{x!}$$ $$q(x)=\frac{f(x)}{(x-1)!}$$ 原式变为 $$\frac{2^{n\choose 2}}{(n-1)!}=\sum_{i=1}^np(n-i)q(i)$$ 出现卷积。

令

$$F(n)=\sum_{i=1}^np(i)$$ $$G(n)=\sum_{i=1}^nq(i)$$ 就有 $$F(n)G(n)=\frac{2^{n\choose 2}}{(n-1)!}$$ 即 $$G(n)=\frac{2^{n\choose 2}}{(n-1)!}F^{-1}$$ 而 $$f(n)=q(n)(n-1)!$$ $$q(n)=[n]G(n)$$ 于是得到答案。

时间复杂度$O(N\log N)$

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>

using namespace std;

const long long P=1004535809ll;
long long F[262145],invF[262145],G[262145],H[262145],fact[130001];
int rev[262145],n;

long long qpow(long long a,int x){
    long long s=1ll;
    while(x){if(x&1)(s*=a)%=P;(a*=a)%=P;x>>=1;}
    return s;
}

void ntt(long long *f,int len,int check){
    const static long long G=3ll,invG=334845270ll;
    for(int i=0;i<len;++i)if(i<rev[i])swap(f[i],f[rev[i]]);
    for(int i=1;i<len;i<<=1){
        long long wn=qpow(check==1?G:invG,(P-1)/(i<<1));
        for(int j=0;j<len;j+=(i<<1)){
            long long w=1ll;
            for(int k=0;k<i;++k){long long x=f[j+k],y=w*f[i+j+k]%P;f[j+k]=(x+y)%P,f[i+j+k]=(x-y+P)%P;(w*=wn)%=P;}
        }
    }
    if(check==-1){long long invL=qpow(len,P-2);for(int i=0;i<len;++i)(f[i]*=invL)%=P;}
}

void getinv(long long *f,long long *g,int len){
    if(len==1){g[0]=qpow(f[0],P-2);return;}
    getinv(f,g,len>>1);
    for(int i=0;i<len;++i)H[i]=f[i];for(int i=len;i<len<<1;++i)H[i]=0ll;
    for(int i=0;i<len<<1;++i)rev[i]=((rev[i>>1]>>1)|((i&1)*len));
    ntt(H,len<<1,1),ntt(g,len<<1,1);
    for(int i=0;i<len<<1;++i)H[i]=g[i]*(2ll-H[i]*g[i]%P+P)%P;
    ntt(H,len<<1,-1);
    for(int i=0;i<len;++i)g[i]=H[i];for(int i=len;i<len<<1;++i)g[i]=0ll;
}

int main(){
    scanf("%d",&n);
    int len=1;while(len<=n)len<<=1;
    fact[0]=1ll;for(int i=1;i<=n;++i)fact[i]=fact[i-1]*i%P;
    for(int i=0;i<=n;++i)F[i]=qpow(2ll,((long long)i*(i-1ll)>>1)%(P-1ll))*qpow(fact[i],P-2)%P;
    for(int i=1;i<=n;++i)G[i]=qpow(2ll,((long long)i*(i-1ll)>>1)%(P-1ll))*qpow(fact[i-1],P-2)%P;
    getinv(F,invF,len);
    ntt(invF,len<<1,1),ntt(G,len<<1,1);
    for(int i=0;i<len<<1;++i)(G[i]*=invF[i])%=P;
    ntt(G,len<<1,-1);
    printf("%lld",G[n]*fact[n-1]%P);
}