小w的喜糖（candy）

题目描述

废话不多说，反正小w要发喜糖啦！！

小w一共买了n块喜糖，发给了n个人，每个喜糖有一个种类。这时，小w突发奇想，如果这n个人相互交换手中的糖，那会有多少种方案使得每个人手中的糖的种类都与原来不同。

两个方案不同当且仅当，存在一个人，他手中的糖的种类在两个方案中不一样。

输入

第一行，一个整数n。

接下来n行，每行一个整数，第i个整数Ai表示开始时第i个人手中的糖的种类。

输出

一行，一个整数Ans，表示方案数模1000000009。

样例输入

样例输出

提示

【数据规模和约定】

对于所有数据，1≤Ai≤k。

数据点	n	k	约束
1	≤10	≤10	无
2	≤10	≤10	无
3	≤20	n	每个人的糖果种类都不一样
4	≤100
5	≤2000
6	≤2000
7	≤200	3	无
8
9
10
11		≤n
12
13
14
15	≤2000
16
17
18
19
20

solution

背景（没用）

错排：求1~n的排列ai，满足ai！=i的个数

$Ans= \sum_{i=0}^{n} (-1)^i*(n-i)!*C(n,i)$

考虑令  表示个数字任意放的方案数，

  表示个数字都不放在自己位置上的方案数，通过枚举不在自己位置上的数字的个数容易得到

由二项式反演得到

注意到  ，这样我们就得到了他的通项公式，通过将和组合数展开就可以得到更为简便的通项公式了

---------------某度

有重复元素的排列

$ans=\frac{n!}{\prod a[i]!}$

好的，接下来才是正经的题解

令f[i][j]表示前i种糖，有j个人拿到了原来的糖的方案数

$Ans=\sum_{i=0}^{n}(-1)^i*f[n][i]*(n-i)!$

考虑算f[i][j]

$f[i][j]=f[i-1][j-k]*C(cnt[i],k)*(cnt[i]-k)!^{-1}$

也就是第i种糖，有k个人不合法

就这样啦

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define maxn 2005
#define mod 1000000009
using namespace std;
int n,cnt[maxn],t;
long long ans,ny[maxn],f[maxn][maxn],h[maxn];
long long work(long long k,long long num){
    long long tmp=1;
    while(num){
        if(num&1)tmp=tmp*k;
        k=k*k;k%=mod;tmp%=mod;num/=2;
    }
    return tmp;
}
long long C(int n,int m){
    long long tmp=0;
    tmp=(1LL*h[n]*ny[m]%mod)*ny[n-m];tmp%=mod;
    return tmp;
}
int main()
{
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d",&t);
        cnt[t]++;
    }
    h[0]=1;ny[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        h[i]=(1LL*h[i-1]*i)%mod;
        ny[i]=work(h[i],mod-2);
    }
    f[0][0]=1;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=0;j<=n;j++){
            for(int k=0;k<=cnt[i];k++){
                if (k>j)break;
                f[i][j]+=(1LL*f[i-1][j-k]*C(cnt[i],k))%mod*ny[cnt[i]-k];
                f[i][j]%=mod;
            }
        }
    int op=1;
    for(int i=0;i<=n;i++){
        ans+=(1LL*f[n][i]*(h[n-i]*op))%mod;
        op=op*(-1);
    }
    ans=(ans%mod+mod)%mod;
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}