【BZOJ1297/SCOI2009】迷路

1297: [SCOI2009]迷路

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Description

windy在有向图中迷路了。该有向图有 N 个节点，windy从节点 0 出发，他必须恰好在 T 时刻到达节点 N-1。现在给出该有向图，你能告诉windy总共有多少种不同的路径吗？注意：windy不能在某个节点逗留，且通过某有向边的时间严格为给定的时间。

Input

第一行包含两个整数，N T。接下来有 N 行，每行一个长度为 N 的字符串。第i行第j列为'0'表示从节点i到节点j没有边。为'1'到'9'表示从节点i到节点j需要耗费的时间。

Output

包含一个整数，可能的路径数，这个数可能很大，只需输出这个数除以2009的余数。

Sample Input

【输入样例一】
2 2
11
00

【输入样例二】
5 30
12045
07105
47805
12024
12345

Sample Output

【输出样例一】
1

【样例解释一】
0->0->1

【输出样例二】
852

HINT

30%的数据，满足 2 <= N <= 5 ； 1 <= T <= 30 。 100%的数据，满足 2 <= N <= 10 ； 1 <= T <= 1000000000 。

解析：

首先我们知道，当所有边权都是1的时候那么邻接矩阵自乘T次之后a[1][n]就是答案。

如果不知道的话可以这样理解（~~以下纯属自己乱想的，慎重！~~），根据矩阵乘法的公式：

因为初始边权为1，所以此时f[ i ][ j ]可以代表 i ~ j 若有连边则说明 i ~ j 只有一种路径。自乘一次后由加法定则和乘法定则可以对应矩阵乘法的公式，a[ i ][ k ] * a[ k ][ j ]就相当于从 i 走到 k 的方案数乘以从 k 走到 j的方案数（乘法定则），将所有的a[ i ][ k ] * a[ k ][ j ]加起来（加法定则），就能算出多走1的路径条数（感性理解就好了。。。）

所以问题就转化成如果将矩阵变成边权均为1的矩阵。考虑拆点，将一个点拆成9个点，第 i 个点拆成的第 j+1 个点向第 j 个点连一条边权为1的边那么 i->j 有一条边权为 k 的边等价于 i 向 j 拆成的第 k 个点连边。

后记：

唉，一个快退役的NOIP选手做这些省选题都不知道为了什么。。。

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
 
const int Max=150;
const int mod=2009; 
int n,m,sum,t;
int ans[Max][Max],a[Max][Max],b[Max][Max];
 
inline int calc(int x,int y){return (y-1)*n+x;}
 
inline void mul()
{
    memset(b,0,sizeof(b));
    for(int i=1;i<=n*9;i++)
      for(int j=1;j<=n*9;j++)
        for(int k=1;k<=n*9;k++)
          b[i][j] = (b[i][j] + ans[i][k] * a[k][j]) % mod;
    memcpy(ans,b,sizeof(b));
}
 
inline void mulself()
{
    memset(b,0,sizeof(b));
    for(int i=1;i<=n*9;i++)
      for(int j=1;j<=n*9;j++)
        for(int k=1;k<=n*9;k++)
          b[i][j] = (b[i][j] + a[i][k] * a[k][j]) % mod;
    memcpy(a,b,sizeof(b));
}
 
inline void solve()
{
    while(t)
    {
      if(t&1) mul();
      t>>=1;
      mulself();
    }
    cout<<ans[1][n]%mod<<"\n";
}
 
int main()
{
    scanf("%d%d\n",&n,&t);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
      for(int j=1;j<=n;j++)
      {
        char ch=getchar();
        if(!(ch-'0')) continue;
        a[i][calc(j,ch-'0')]=1;
      }
      for(int j=2;j<=9;j++) a[calc(i,j)][calc(i,j-1)]=1;
      getchar();
    }
     
    for(int i=1;i<=n*9;i++) ans[i][i]=1;
    solve();
 
    return 0;
}