洛谷 P4463 [国家集训队] calc dp+拉格朗日插值法

题目大意：
一个长度为$n$合法序列$a_1,a_2,...,a_n$，满足$\forall i,a_i\in[1,A]$，且互不相等，价值为序列中全部数的积。有一个位置不同的两个序列不同，求所有满足的序列的价值总和。
$(A<=10^9,n<=500,mod<=10^9$且为质数$)$。

分析：
小的数据显然可以$dp$，设$f[i][j]$为选了$i$个数，且不大于$j$的总和。显然有

$$f[i][j]=f[i-1][j-1]*j*i+f[i][j-1]$$
然后发现 $A$很大，然后我就往矩阵乘法的方向想，然后就想不到了。
可以使用某些奇怪的方法知道， $f[i][j]$是一个关于 $j$的多项式，他的次数是 $i*2$。
于是我们预处理出 $f[n][k],k\in[1,2*n+1]$，然后拉格朗日插值就可以了。

代码：

// luogu-judger-enable-o2
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#define LL long long

const int maxn=1007;

using namespace std;

LL n,k;
LL f[maxn][maxn];
LL m,mod;
LL l[maxn],r[maxn],jc[maxn],njc[maxn];

LL power(LL x,LL y)
{
    if (y==1) return x;
    LL c=power(x,y/2);
    c=(c*c)%mod;
    if (y%2) c=(c*x)%mod;
    return c;
}

LL calc(LL m)
{
    l[0]=1;
    for (LL i=1;i<=k;i++) l[i]=l[i-1]*(m-i)%mod;
    r[k+1]=1;
    for (LL i=k;i>0;i--) r[i]=r[i+1]*(m-i)%mod;
    jc[0]=1;
    for (LL i=1;i<=k;i++) jc[i]=(jc[i-1]*i)%mod;
    njc[0]=1;
    for (LL i=1;i<=k;i++) njc[i]=(njc[i-1]*(mod-i))%mod;
    LL sum=0;   
    for (int i=1;i<=k;i++)
    {
        sum=(sum+f[n][i]*l[i-1]%mod*r[i+1]%mod*power(jc[k-i],mod-2)%mod*power(njc[i-1],mod-2)%mod)%mod;
    }
    return sum;
}

int main()
{
    scanf("%lld%lld%lld",&m,&n,&mod);
    for (LL j=0;j<=2*n+1;j++) f[0][j]=1;        
    for (LL i=1;i<=n;i++)
    {
        for (LL j=1;j<=2*n+1;j++)
        {
            f[i][j]=(f[i-1][j-1]*i%mod*j%mod+f[i][j-1])%mod;
        }
    }
    k=2*n+1;    
    if (m<=2*n+1) printf("%lld",f[n][m]);
           else printf("%lld",calc(m));
}