ISIJ 2018 超级跳棋（Training Round D6T5）

无忧公主 2018-07-10

题目名称：超级跳棋

文件名称：super.in / super.out

题目描述

小明是今年超级跳棋比赛的裁判，每轮有三名选手参加，结束时统计的分数一定是正整数，形如 a：b：c。小明的任务是在一块特殊的计分板上展示分数，他一共准备了 $n$ 块写有正整数 $x_1，x_2，……，x_n$ 的卡片，可供填写在 a、b、c 的位置上。此外，小明了解到超级跳棋的规则，他发现 a、b、c 之间最多相差 $k$ 倍，例如 $\frac ca > k$ 就是不合法的分数。为了检验他准备得是否充分，你需要计算小明可以在计分板上摆放出多少种不同的分数，即 (a,b,c) 这样的三元组有多少个。

限制

1s 256M

对于 20% 的数据， $3≤n≤100,000，k=1，1≤x_i≤100,000$

对于另外 20% 的数据， $3≤n≤100，1≤k≤100，1≤x_i≤100$

对于另外 30% 的数据， $3≤n≤100,000，1≤k，x_i≤10^9 且所有 x_i 互不相同$

对于另外 30% 的数据， $3≤n≤100,000，1≤k，x_i≤10^9$

输入格式

第一行，两个整数 $n$ 和 $k$

第二行， $n$ 个整数 $x_1，x_2，……，x_n$

输出格式

一个整数，表示 (a,b,c) 三元组的个数

输入样例

5 2

1 1 2 2 3

输出格式

样例解释

小明可以摆出的 a：b：c 有以下这些：1:1:2、1:2:1、2:1:1、1:2:2、2:1:2、2:2:1、2:2:3、2:3:2、3:2:2。由于 $k=2$ ，1 和 3 不能同时出现。

题解

首先将 $x_i$ 排序，对于固定的最小值 $x_i$ ，a、b、c 三个数必然在 $x_i$ 到 $x_j$ 中选（即 $\frac {x_{j+1}} {x_i} > k$ ），当然对于 $i$ 可以扫描线快速求得 $j$ 。假设 $x_i$ 必然取，然后可以根据 $x_i$ 选 1 个还是 2 个还是 3 个，分类讨论并用乘法原理统计答案。需要同时维护当前 $x_i$ 到 $x_j$ 有几个是只出现了 1 次、有几个是出现了至少 2 次的（用 map 记录一个数出现了几次）。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
template <typename T> void read(T &t) {
    char ch=getchar(); int f=1; t=0;
    while ('0'>ch||ch>'9') { if (ch=='-') f=-1; ch=getchar(); }
    do { (t*=10)+=ch-'0'; ch=getchar(); } while ('0'<=ch&&ch<='9'); t*=f;
}
typedef long long ll;
const int maxn=100010;
int n,k,x[maxn],a[maxn],sz;
map<int,int> m;
ll ans;
int main() {
    read(n); read(k);
    for (int i=1;i<=n;i++) {
        read(x[i]); m[x[i]]++;
    }
    sort(x+1,x+(n+1));
    for (int i=1;i<=n;i++)
        if (x[i]!=x[i-1]) a[++sz]=x[i];
    int pos=0,c1=0,c2=0;
    for (int i=1;i<=sz;i++) {
        while (pos<sz&&a[pos+1]<=(ll)a[i]*k) {
            pos++;
            if (m[a[pos]]>=2) c1++;
            else c2++;
        }
        int v=0;
        if (m[a[i]]>=2) v++;
        int s=c1+c2-1;
        ans+=3*(c1-v);
        if (s>1) ans+=3LL*s*(s-1);
        if (m[a[i]]>=2) ans+=3*(c1+c2-1);
        if (m[a[i]]>=3) ans++;
        if (m[a[i]]>=2) c1--; else c2--;
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}