[CF655E]Intellectual Inquiry——DP+矩阵快速幂优化 大佬们的博客 Some Links

题目大意：

给定一个序列以及一个字符集合，要求在后面添加m个集合中的字符使得总的字符串中的本质不同子序列数量尽可能多。

思路：

考虑怎么DP来计算本质不同子序列个数，设$dp[i]$为以$i$结尾的本质不同子序列个数，它的个数等于之前的所有的本质不同子序列个数之和+1。因为可以看成之前所有的本质不同子序列都在后面加上了一个$i$，最后再算上单独一个$i$。所以$dp[i]=1+\sum_{j=1}^{k}dp[j]$，发现单次转移不论对于哪一个字符值都是固定的，所以为了让最后的和最大，所以选择目前dp值最小的那个转移。
这样以后发现每$k$次转移的字符都是完全相同的一个轮回，所以只需要矩阵快速幂优化DP就好了。这里有一个小技巧就是并不要把$k$次转移的矩阵乘起来当作一次转移，我们可以先按照转移的顺序排序dp数组，然后单次转移的时候先转移第一个并且把它放到最后面，然后把后面的所有的数都往前面平移一个。

#include<bits/stdc++.h>

#define REP(i,a,b) for(int i=a;i<=b;++i)
typedef long long ll;

using namespace std;

void File(){
    freopen("sequence.in","r",stdin);
    freopen("sequence.out","w",stdout);
}

const int maxn=1e6+10;
const int maxk=100+10;
const ll mod=1e9+7;
int n,k,s[maxn];
ll m;
pair<ll,int>dp[maxn];

struct Matrix{
    ll a[maxk][maxk];
    Matrix operator * (const Matrix & b) const {
        Matrix c;
        REP(i,1,k+1)REP(j,1,k+1){
            ll sum=0;
            REP(p,1,k+1)sum=(sum+a[i][p]*b.a[p][j])%mod;
            c.a[i][j]=sum;
        }
        return c;
    }
}Ma;

bool cmp(pair<ll,int> a,pair<ll,int> b){
    return a.second<b.second;
}

void work(){
    ll sum=0;
    REP(i,1,n){
        dp[s[i]].second=i;
        ll tmp=dp[s[i]].first;
        dp[s[i]].first=sum+1;
        sum=(sum-tmp+dp[s[i]].first)%mod;
    }
    sort(dp+1,dp+k+1,cmp);
    dp[k+1].first=1;
    REP(j,1,k-1)Ma.a[j+1][j]=1;
    REP(i,1,k+1)Ma.a[i][k]=1;
    Ma.a[k+1][k+1]=1;
    Matrix ans;
    REP(i,1,k+1)ans.a[i][i]=1;
    while(m){
        if(m&1)ans=ans*Ma;
        Ma=Ma*Ma;
        m>>=1;
    }
    ll Ans=0;
    REP(j,1,k+1)REP(p,1,k+1)
        Ans=(Ans+dp[p].first*ans.a[p][j])%mod;
    printf("%lld\n",(Ans-1+mod)%mod);
}

int main(){
    File();
    scanf("%d%lld%d",&n,&m,&k);
    REP(i,1,n)scanf("%d",&s[i]);
    work();
    return 0;
}