POJ1222（高斯消元）

开关灯问题。

第一种方法就是去枚举第一行的状态（6*5）* (2^6)，很快。

第二种方法是高斯消元，第一种的思路类似POJ 3279，下面说说高斯消元的思路：

记g[i][j]为原矩阵，x[ i ] [ j ]为i,j位置是否按，1是按，0是不按，也就是要求的答案，a[ i ] [ j ]为增广矩阵，设c[ i ] [ j ]为按下（i，j）后的状态，比如按下（1，1），c数组为，为了更好利用高斯消元，这里把c数组转换成列向量（（1，1）的时候即为（0，1，0，0，0，0，1，1，1，0，0，0，0，1，0，0，0，0，……，0）^T），然后可以有x（i,j）*c（i,j）+g[i][j]=0

，因为是01矩阵，可以把原矩阵放到增光矩阵的最后一列，把c数组转化成列向量后放到a数组其他位置，所以a数组的行数位30，列数为31。再就是套模板了，这题计算简单，某些地方可以用异或。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<string>
#include<vector>
#include<stack>
#include<bitset>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<set>
#include<list>
#include<deque>
#include<map>
#include<queue>
using namespace std;
#define inf 0x3f3f3f3f
#define ll long long
const double eps=1e-8;
const double PI = acos(-1.0);
const int MAXN=35;
int a[MAXN][MAXN];//增广矩阵
int x[MAXN];//解集
bool free_x[MAXN];//标记是否是不确定的变元
int gcd(int a,int b)
{
    if(b == 0) return a;
    else return gcd(b,a%b);
}
inline int lcm(int a,int b)
{
    return a/gcd(a,b)*b;//先除后乘防溢出
}
// 高斯消元法解方程组(Gauss-Jordan elimination).(-2表示有浮点数解，但无整数解，
//-1表示无解，0表示唯一解，大于0表示无穷解，并返回自由变元的个数)
//有equ个方程，var个变元。增广矩阵行数为equ,分别为0到equ-1,列数为var+1,分别为0到var.
int Gauss(int equ,int var)
{
    int i,j,k;
    int max_r;// 当前这列绝对值最大的行.
    int col;//当前处理的列
    int ta,tb;
    int LCM;
    int temp;
    int free_x_num;
    int free_index;

    for(int i=0; i<=var; i++)
    {
        x[i]=0;
        free_x[i]=true;
    }

    //转换为阶梯阵.
    col=0; // 当前处理的列
    for(k = 0; k < equ && col < var; k++,col++) // 枚举当前处理的行.
    {
        // 找到该col列元素绝对值最大的那行与第k行交换.(为了在除法时减小误差)
        max_r=k;
        for(i=k+1; i<equ; i++)
        {
            if(abs(a[i][col])>abs(a[max_r][col])) max_r=i;
        }
        if(max_r!=k) // 与第k行交换.
        {
            for(j=k; j<var+1; j++) swap(a[k][j],a[max_r][j]);
        }
        if(a[k][col]==0) // 说明该col列第k行以下全是0了，则处理当前行的下一列.
        {
            k--;
            continue;
        }
        for(i=k+1; i<equ; i++) // 枚举要删去的行.
        {
            if(a[i][col]!=0)
            {
                /*               LCM = lcm(abs(a[i][col]),abs(a[k][col]));
                               ta = LCM/abs(a[i][col]);
                               tb = LCM/abs(a[k][col]);
                               if(a[i][col]*a[k][col]<0)tb=-tb;//异号的情况是相加
                               for(j=col; j<var+1; j++)
                               {
                                   a[i][j] = a[i][j]*ta-a[k][j]*tb;
                               }*/
                for(j=col; j<var+1; j++)
                {
                    a[i][j]^=a[k][j];
                }
            }
        }
    }
    // 1. 无解的情况: 化简的增广阵中存在(0, 0, ..., a)这样的行(a != 0).
    for (i = k; i < equ; i++)  // 对于无穷解来说，如果要判断哪些是自由变元，那么初等行变换中的交换就会影响，则要记录交换.
    {
        if (a[i][col] != 0) return -1;
    }
    // 2. 无穷解的情况: 在var * (var + 1)的增广阵中出现(0, 0, ..., 0)这样的行，即说明没有形成严格的上三角阵.
    // 且出现的行数即为自由变元的个数.
    if (k < var)
    {
        return var - k; // 自由变元有var - k个.
    }
    // 3. 唯一解的情况: 在var * (var + 1)的增广阵中形成严格的上三角阵.
    // 计算出Xn-1, Xn-2 ... X0.
    for (i = var - 1; i >= 0; i--)
    {
        temp = a[i][var];
        for (j = i + 1; j < var; j++)
        {
            if (a[i][j] != 0) temp -= a[i][j] * x[j];
        }
        if (temp % a[i][i] != 0) return -2; // 说明有浮点数解，但无整数解.
        x[i] = temp / a[i][i];
        x[i]=(x[i]+100)%2;
    }
    return 0;
}

int main()
{
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    std::cin.tie(0);
    std::cout.tie(0);
    int t,cas=0;
    cin>>t;
    while(t--)
    {
        memset(a,0,sizeof(a));
        for(int i=0; i<30; i++)
        {
            cin>>a[i][30];
        }
        for(int i=0; i<5; i++)
        {
            for(int j=0; j<6; j++)
            {
                int t=i*6+j;
                a[t][t]=1;
                if(i>0)
                    a[(i-1)*6+j][t]=1;
                if(i<4)
                    a[(i+1)*6+j][t]=1;
                if(j>0)
                    a[t-1][t]=1;
                if(j<5)
                    a[t+1][t]=1;
            }
        }
        cout<<"PUZZLE #"<<++cas<<endl;
        if(Gauss(30,30)==0)
        {
            for(int i=0; i<5; i++)
            {
                for(int j=0; j<5; j++)
                {
                    cout<<x[i*6+j]<<" ";
                }
                cout<<x[i*6+5]<<endl;
            }
        }
    }
    return 0;
}