协方差公式推导

协方差公式推导

$$cov(X,Y)=\frac{\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})(Y_i-\bar{Y})}{n}=E[(X-E[X])(Y-E[Y])]$$
$$=E[XY-E[X]Y-XE[Y]+E[X]E[Y]]$$
因为均值计算是线性的，即（a和b均为常数）：
$$E[aX+bY]=aE[X]+bE[Y]$$
则我们有：
$$E[XY-E[X]Y-XE[Y]+E[X]E[Y]]$$
$$=E[XY]-E[X]E[Y]-E[X]E[Y]+E[X]E[Y]$$
$$=E[XY]-E[X]E[Y]$$