【证明】【一题多解】【等价转换】—— 排列组合的计算

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1. 组合数的等价转换

• 递推关系（降低规模）：

$$\left\{ \begin{split} &\binom{n}{k}=\frac{n}{k}\binom{n-1}{k-1}\\ &\binom{n}{k}=\frac{n}{n-k}\binom{n-1}{k} \end{split} \right.$$

• 拆分成两项

  $$\binom n k=\binom {n-1} k + \binom {n-1} {k-1}$$

  有如下两种形式的证明：

  • 根据组合数的定义（$\binom n k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$），各自展开进行证明；

  • 《算法导论》提供了另外的思路，从实际意义出发，$\binom {n} k$ 表示 $n$ 个对象中选择 $k$ 个。考虑全体 $n$ 个对象中的任意一个（是否被选中），根据其是否在最终选择的 $k$ 个之中，可将 $\binom n k$ 拆分成两项，

    • 在 $k$ 中，即从余下的 $n-1$ 个对象中选择 $k-1$ 个对象：$\binom {n-1}{k-1}$
    • 不在 $k$ 中，即从余下的 $n-1$ 个对象中选择 $k$ 个对象：$\binom {n-1} k$

    因此有：$\binom n k=\binom {n-1} k + \binom {n-1} {k-1}$