在网图和非网图中,最短路径的含义是不同的。
–网图是两顶点经过的边上权值之和最少的路径。
–非网图是两顶点之间经过的边数最少的路径。(可以理解为边上权值为1的图)
我们把路径起始的第一个顶点称为源点,最后一个顶点称为终点。所谓单源最短路径问题,就是从某一顶点v0 出发,找从它到图中其他各个顶点的最短路径。
–迪杰斯特拉算法(Dijkstra):求解单源最短路径问题的算法
基本策略:按最短路径长度递增的次序求得各条最短路径。
假设求V0到V8的最短路径:
迪杰斯特拉算法并不是一子就求出了V0到V8的最短路径,而是一步步求出它们之间顶点的最短路径,过程中都是基于已经求出的最短路径的基础上,求得更远顶点的最短路径,最终得到要的结果。
#define MAXVEX 9
#define INFINITY 65535
typedef int Patharc[MAXVEX]; // 用于存储最短路径下标的数组
typedef int ShortPathTable[MAXVEX]; // 用于存储到各点最短路径的权值和
void ShortestPath_Dijkstar(MGraph G, int V0, Patharc *P, ShortPathTable *D)
{
int v, w, k, min;
int final[MAXVEX]; // final[w] = 1 表示已经求得顶点V0到Vw的最短路径
// 初始化数据
for( v=0; v < G.numVertexes; v++ )
{
final[v] = 0; // 全部顶点初始化为未找到最短路径
(*D)[V] = G.arc[V0][v]; // 将与V0点有连线的顶点加上权值
(*P)[V] = 0; // 初始化路径数组P为0
}
(*D)[V0] = 0; // V0至V0的路径为0
final[V0] = 1; // V0至V0不需要求路径
// 开始主循环,每次求得V0到某个V顶点的最短路径
for( v=1; v < G.numVertexes; v++ )
{
min = INFINITY;
for( w=0; w < G.numVertexes; w++ )
{
if( !final[w] && (*D)[w]<min )
{
k = w;
min = (*D)[w];
}
}
final[k] = 1; // 将目前找到的最近的顶点置1
// 修正当前最短路径及距离
for( w=0; w < G.numVextexes; w++ )
{
// 如果经过v顶点的路径比现在这条路径的长度短的话,更新!
if( !final[w] && (min+G.arc[k][w] < (*D)[w]) )
{
(*D)[w] = min + G.arc[k][w]; // 修改当前路径长度
(*p)[w] = k; // 存放前驱顶点
}
}
}
}
另外的理解:
求最短路径步骤:
•初始时令 S={V0}, T={其余顶点},T中顶点对应的距离值
•若存在<V0,Vi>,为<V0,Vi>弧上的权值
•若不存在<V0,Vi>,为µ
•从T中选取一个其距离值为最小的顶点W,加入S
• 对T中顶点的距离值进行修改:若加进W作中间顶点,从V0到Vi的距离值比不加W的路径要短,则修改此距离值
• 重复上述步骤,直到S中包含所有顶点,即S=V为止
迪杰特斯拉算法对比弗洛伊德算法:O(n^2)<O(n^3)
–迪杰特斯拉算法求的是一个顶点到所有顶点的最短路径,但弗洛伊德算法是求所有顶点到所有顶点的最短路径。
–弗洛伊德算法非常简洁优雅。
–Floyd(弗洛伊德)算法:
思想:逐个顶点试探法
步骤:
1.初始时设置一个n阶方阵,令其对角线元素为0,若存在弧<Vi,Vj>,则对应元素为权值;否则为µ。
2.逐步试着在原直接路径中增加中间顶点,若加入中间点后路径变短,则修改之;否则,维持原值。
3.所有顶点试探完毕,算法结束。
#define MAXVEX 9
#define INFINITY 65535
typedef int Pathmatirx[MAXVEX][MAXVEX];
typedef int ShortPathTable[MAXVEX][MAXVEX];
void ShortestPath_Floyd(MGraph G, Pathmatirx *P, ShortPathTable *D)
{
int v, w, k;
// 初始化D和P
for( v=0; v < G.numVertexes; v++ )
{
for( w=0; w < G.numVertexes; w++ )
{
(*D)[v][w] = G.matirx[v][w];
(*P)[v][w] = w;
}
}
// 优美的弗洛伊德算法
for( k=0; k < G.numVertexes; k++ )
{
for( v=0; v < G.numVertexes; v++ )
{
for( w=0; w < G.numVertexes; w++ )
{
if( (*D)[v][w] > (*D)[v][k] + (*D)[k][w] )
{
(*D)[v][w] = (*D)[v][k] + (*D)[k][w];
(*P)[v][w] = (*P)[v][k];
}
}
}
}
}