6.卷积的三个性质及卷积性的应用 [学习笔记]

本文内容分三块，分别是卷积的三个重要性质，以及傅里叶函数卷积性的两个应用：滤波装置，解一维无限长热柱方程

卷积的三个重要的性质：

1.卷积操作是一种平均化的操作， $fg$ 会比 $f$ 与 $g$ 更平滑，特别地， $fg$ 必连续

根据之前文章的推导，我们知道矩形函数的傅里叶变换为 ${\scr F}\Pi (s)=sinc(s)$ ，三角函数的傅里叶变换为 ${\scr F}\Lambda (s)=sinc^2(s)$ 。于是可以得到：

(F Π) (F Π) = s i n c^{2} (s) = F Λ

$({\scr F}\Pi)({\scr F}\Pi)=sinc^2(s)={\scr F}\Lambda$

根据傅里叶变换的卷积性，可知：

Π * Π = Λ

$\Pi*\Pi=\Lambda$

这表示，对两个矩形函数进行卷积操作，我们将得到三角函数，原本矩形函数不连续的断点被“平均”了，图像由不连续变为连续

2.若 $f$ 可微， $g$ 不可微，则 $f*g$ 可微

这意味着我们可以通过卷积的方式将不可微的函数构造成可微的函数

3. $(fg)^{'}=f^{'}g$

卷积性的一个应用实例：滤波装置

在实际生活中，我们总会遇到很多需要过滤掉一定频率的场景，比如处理声音的时候我们希望删除背景杂音；对图像进行边缘检测的时候希望过滤掉低频部分等等，此时，滤波器就派上了用场。
所谓滤波器，其实就是用一个固定的函数或者信号对可变的输入信号进行卷积操作的仪器。
滤波器进行的操作：

时域： $g(t)=f(t)*h(t)$ ，其中 $g(t)$ 即输出信号， $f(t)$ 即输入信号， $h(t)$ 即某固定的函数或信号
频域： $G(s)=F(s)H(s)$ ，其中 $H(s)$ 又被称为传递函数

由于卷积操作很难进行，因此滤波器通常在频域下工作，即先用傅里叶变换将信号转换到频域，再进行滤波，最后用傅里叶逆变换重新变回时域信号。

三种滤波器，即低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器的 $H(s)$ 分别如下

卷积性的第二个应用：无限长柱的热方程

在开始推导前，我们推导函数的一阶导数的傅里叶变换公式：

\begin{aligned} F (f^{^{'}}) & = \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{- 2 π i s t} f^{^{'}} (t) d t \\ = {e^{- 2 π i s t} f (t) |}_{t = - \infty}^{t = + \infty} - \int_{- \infty}^{+ \infty} f (t) d (e^{- 2 π i s t}) \\ = 0 - (- 2 π i s) \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{- 2 π i s t} f (t) d t \\ = 2 π i s F f (s) \end{aligned}

$\begin{align*} {\scr F}(f^{'}) &= \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-2\pi ist} f^{'}(t)dt\\ &=\left. e^{-2\pi ist}f(t) \right|_{t=-\infty}^{t=+\infty}-\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)d(e^{-2\pi ist})\\ &=0-(-2\pi is)\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-2\pi ist}f(t)dt\\ &=2\pi is {\scr F}f(s) \end{align*}$

类似地，不难得到傅里叶变换的导数定理：

$F (f^{(n)}) (s) = (2 π i s)^{n} F f (s)$ ${\scr F}(f^{(n)})(s) = (2\pi is)^n {\scr F}f(s)$

在之前关于热流的文章中，我们讨论了一维热环的解，这次也是类似的，不过我们将讨论的对象是一根无限长的热柱。我们同样设热柱上各位置的温度随时间的分布为： $u(x,t)$ ，且初始时刻的温度分布为 $u(x,0)=f(x)$

设 $u(x,t)$ 的傅里叶变换为 $U(s,t)$ ，需要注意的是，我们是以坐标为周期展开而不是时间.

根据热方程 $u_t=\frac{1}{2}u_{xx}$ ，我们对左右两式分别进行傅里叶变换：

左式：

\begin{aligned} F u_{t} & = \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{- 2 π i s x} \frac{d}{d t} u (x, t) d x \\ = \frac{d}{d t} \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{- 2 π i s x} u (x, t) d x \\ = \frac{d}{d t} U (s, t) \end{aligned}

$\begin{align*} {\scr F}u_t&=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-2\pi isx}\frac{d}{dt}u(x,t)dx\\ &=\frac{d}{dt}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-2\pi isx}u(x,t)dx\\ &=\frac{d}{dt}U(s,t) \end{align*}$

右式，利用傅里叶变换的导数定理：

F u_{x x} = F (u^{^{″}} (x, t)) = (2 π i s)^{2} U (s, t)

${\scr F}u_{xx} = {\scr F}(u^{''}(x,t)) = (2\pi is)^2 U(s,t)$

左右两式相等，有：

\frac{d}{d t} U (s, t) = - 2 π^{2} s^{2} U (s, t)

$\frac{d}{dt}U(s,t) = -2\pi^2s^2 U(s,t)$

方程的解为：

U (s, t) = U (s, 0) e^{- 2 π^{2} t s^{2}}

$U(s,t) = U(s,0)e^{-2\pi^2 t s^2}$

初始时刻温度分布的傅里叶变化容易得到：

U (s, 0) = F u (x, 0) = F (f (x)) = F f (s)

$U(s,0)={\scr F}u(x,0) ={\scr F}(f(x))={\scr F}f(s)$

于是，我们就得到了：

U (s, t) = F f (s) e^{- 2 π^{2} t s^{2}}

$U(s,t) = {\scr F}f(s)e^{-2\pi^2 t s^2}$

将上式看作是两个傅里叶变换后的函数之积，我们就可以运用傅里叶变换的卷积性来求原函数，不难知道

\begin{matrix} (1) & u (x, t) = f (x) * g (x) \end{matrix}

$u(x,t) = f(x)*g(x)\tag 1$

其中 $g(x)={\scr F}^{-1}\left( e^{-2\pi^2 t s^2} \right)={\scr F}^{-1}(G(s))$

之前的文章中推导知高斯函数的傅里叶变换还是高斯函数，设 $F(s) = e^{-\pi s^2}$ ，有

G (s) = F (\sqrt{2 π t} s) = F (\frac{s}{\frac{1}{\sqrt{2 π t}}})

$G(s)=F(\sqrt{2\pi t}s)=F\left(\frac{s}{\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}} \right)$

运用傅里叶变换的拉伸性，可知上式对应的时域函数为：

| \frac{1}{\sqrt{2 π t}} | f (\frac{1}{\sqrt{2 π t}} x)

$\left| \frac{1}{\sqrt{2\pi t}} \right| f \left( \frac{1}{\sqrt{2\pi t}} x \right)$

由高斯函数傅里叶变换图像相同这一性质我们可以很快得出：

g (x) = | \frac{1}{\sqrt{2 π t}} | e^{- π {(\frac{1}{\sqrt{2 π t}} x)}^{2}} = \frac{1}{\sqrt{2 π t}} e^{\frac{x^{2}}{2 t}}

$g(x)=\left| \frac{1}{\sqrt{2\pi t}} \right| e^{-\pi \left( \frac{1}{\sqrt{2\pi t}} x \right)^2}=\frac{1}{\sqrt{2\pi t}} e^{\frac{x^2}{2t}}$

将其带入 $(1)$ 式，就可以得到一维无限长柱的热方程解为：

u (x, t) = f (x) * (\frac{1}{\sqrt{2 π t}} e^{\frac{x^{2}}{2 t}})

$u(x,t) = f(x)*\left( \frac{1}{\sqrt{2\pi t}} e^{\frac{x^2}{2t}} \right)$