“齐次坐标表示是计算机图形学的重要手段之一，它既能够用来明确区分向量和点，同时也更易用于进行仿射（线性）几何变换。”——F.S.Hill, JR。
1.1首先我们先谈一下向量和点的区分问题。
我们先用一个基和一个向量来表示一下向量和坐标。当然，这需要一定线性代数基础。忘了这部分知识的可以先回顾一下同济大学线性代数中第141页维数，基与坐标的相关知识。其实只需要知道下边这个定义就可以。
接下来我们说明向量与坐标之间的区别：
可以从图中看到当用一个四维空间来表示三维空间的点和向量时，向量最后一个分量是0，而点最后一个分量是1。这样就很容易区分向量和点了吧，比如三维空间中（1，2，3）用四维空间表示时（1，2，3，0），没错，就是向量。（1，2，3，1）就是点。
我们通过增加了一维来区分了点和向量，那和上边的齐次坐标有什么关系呢？看看百度百科对齐次坐标定义：齐次坐标就是将一个原本是n维的向量用一个n+1维向量来表示。其实就是我们上边讲的这些东西。
1.2明白了上边这一点，我们先对普通坐标与平面坐标转换进行学习。
齐次=>普通（笛卡尔）：前面n-1个坐标分量分别除以最后一个分量即可。
转化齐次坐标到笛卡尔坐标的过程中，我们有一个发现:
你会发现(1, 2, 3), (2, 4, 6) 和(4, 8, 12)对应同一个普通坐标 (1/3, 2/3)，任何(1a, 2a, 3a) 对应 笛卡尔空间里面的(1/3, 2/3) 。因此，这些点是“齐次的”，因为他们代表了笛卡尔坐标系里面的同一个点。换句话说，齐次坐标有规模不变性。这个发现很有用，比如你会发现两条平行线会相交与无限远处的一个点（可以自己推到一下，也可以去看看别的文章，很简单）。
当然学过数学的看到上边公式都会产生疑问，如果w=o代表什么呢？实际上当w为零时，齐次点(x, y, 0)表示此点位于某方向的无穷远处。其实这只是一个约定俗成的看法。表示了一个无穷远处的点（极限观点，无穷大的点），描述了一个方向而不是一个位置（上边的坐标与向量的区别）。
1.3知道了这么多，那其次坐标到底有什么用呢？再看一下文章开头最后一句话，更易用于进行仿射（线性）几何变换。这句话怎么理解呢？先找相关资料补补常见的仿射变换吧（平移T,旋转R，缩放S）.首先我们先从概念上去理解一下这句话：
（1）首先讨论一下三维空间中的平移，这个平移很特别，如果是一个标量，可以平移，但是一个向量呢，平移就失去了意义，所以说平移只对坐标有效，而对向量无效。这个和齐次坐标有什么用呢?在反射变换中，无论T,R还是S都是通过矩阵乘法来实现变换的。旋转和缩放坐标系可以使用3*3矩阵来实现。平移变换却不能使用3*3矩阵来实现变换。平移变换是将一个向量加上一个非零向量来实现的，而矩阵乘法中，零向量只能变换成零向量。所以为了表示平移必须扩展维数，这恰恰是齐次坐标所擅长的。
（2）对于一个2D空间来说，用3D空间齐次坐标来表示2D空间，则解决了两个问题 1是向量平移2是旋转。