强连通分量模板

一：定义

定义：在有向图G中，如果两个顶点u、v互相连通，那么我们称这两个顶点是强连通的。

定义：在有向图G中，如果任意两个顶点互相连通，那么我们称这个图是一个强连通图。

定义：在有向图G中，如果有几个顶点互相连通，那么我们称这几个顶点组合起来的子图为极大强连通子图，也叫做强连通分量，注意：每一个顶点都可以被作为强连通分量。

性质：如果将有向图G中的强连通分量都缩为一个点，可以原图G就可以变成一个DAG（有向无环图）。

二：算法之 Tarjan

Tarjan算法是基于对图的DFS的算法，每个强连通分量为搜索树中的一颗子树。

搜索时，把当前搜索树中未处理的节点加入一个栈，回溯是可以判断栈顶到栈中的节点是否构成一个强连通分量。

在搜索时，我们会遇到四种边：

• 树枝边：搜索树上的边。
• 前向边：与DFS方向一致，从某个节点指向某个祖先的边。
• 后向边：与DFS方向相反。
• 横叉边：从每个节点指向搜索树中另一子树的边。

定义：dfn[u]为节点u的搜索次序编号，low[u]为u或者u的子树能回溯到的最早的栈中的dfn的值

那么，由定义可以得出：

• 如果（u,v）为树枝边，那么low[u]=min(low[u],low[v])。
• 如果（u,v）为后向边或者横叉边，那么low[u]=min(low[u],dfn[v]);

为什么要这样做？因为若u为强连通分量的跟，那么它的子孙的最高祖先就应该为它本身。

三：代码实现

还要流程吗？

直接发代码吧。

至于模板题目看这题受欢迎的牛，这里也有我的一篇题解

inline void tarjan(int u)//inline只是提速用的，不用理会。
{
	dfn[u]=low[u]=++index1;//记录搜索次序编号
	st[++top]=u;//将当前搜索到的压入队列；
	vis[u]=1;//用过了。
	for(register int i=head[u];i;i=edge[i].next)//前向星遍历图
	{
		int v=edge[i].to;
		if(!dfn[v]){
			tarjan(v);
			low[u]=min(low[u],low[v]);
		}
		else if(vis[v])
		  low[u]=min(low[u],dfn[v]);
	}
	int now;
	if(low[u]==dfn[u])
	{
		++cnt;//下一个强连通分量；
		do{
			now=st[top--];//将队列顶端弹出
			size[cnt]++;//记录这一个强连通分量所包含的节点
			f[now]=cnt;//缩点，表示成同一个强连通分量
			vis[now]=0;//取消使用
		}while(u!=now);
	}
}