hdu6143 排列组合

题意
一个人的名字有名和姓，名和姓上各有n个字符位置，每个位置的字符从m个字符里面选择。问你有多少个人的名字其名和姓上没有相同的字符。

题解
比赛的时候排列组合了半天，差点没写出来。官方题解是用容斥写的，有兴趣的可以看看别人容斥的博客。
当时比赛的时候我正着写和反着写都没写出来，最后正着里面套反写出来了。

$ans=C_m^1*1^n*(m-1)^n+C_m^2*(2^n-C_2^1*1)*(m-2)^n+...$
解释一下公式（我是把名和姓分开考虑）
答案=（名里面出现一个字符）*（名里面出现一个字符的种数）*（姓里面n个位置全部是m-1个字符中的一个的种数）+（名里面出现两个字符）*（名里面n个位置全部是2个字符中的一个的种数-从2个字符中选择一个*名里面全部是一个字符的种数）*（姓里面n个位置全部是m-2个字符中的一个的种数）+…

上面的公式我总体上是直接正着求名和姓中没有相同字符的名字，但是再求名里面出现n个字符的种数（这里的意思是名里面选出的n个字符必须至少出现一次）的时候我是反着求的，就是先求出n个字符去组成名的总数（ $2^n$ ）-从n个字符中选出n-1个字符去组成名的种数（ $C_n^{n-1}*f[n-1]$ ）-…-从n个字符中选出1个字符去组成名的种数（ $C_n^1*f[1]$ ）。
这里的f[i]代表i个字符组成名（这i个字符里面每一个至少出现一次）
f[i]的求解是递推的。

大家把解释结合公式看，要是还不懂可以看看代码。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

const int maxn = 2005;
const int mod = 1e9+7;
ll c[maxn][maxn],n,m,f[maxn];

ll pow_mod(ll a,ll b)//快速幂
{
    ll res = 1;
    while(b)
    {
        if(b&1) res = (res*a)%mod;
        a = (a*a)%mod;
        b>>=1;
    }
    return res;
}

void init()//组合数
{
    for(int i=0;i<maxn;i++)
    {
        for(int j=0;j<=i;j++)
        {
            if(j==0 || j==i) c[i][j]=1;
            else c[i][j] = (c[i-1][j-1]+c[i-1][j])%mod;
        }
    }
}

int main()
{
    int t;
    init();
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%lld%lld",&n,&m);
        ll ans=0;
        for(int i=1;i<=min(n,m);i++)
        {
            if(i==1)
            {
                f[1]=1;
                ll res = (c[m][1]*pow_mod(m-1,n))%mod;
                ans += res;
                ans %= mod;
            }
            else
            {
                ll res = (c[m][i]*pow_mod(m-i,n))%mod;
                ll tmp = 0;
                for(int j=1;j<i;j++)//递推求解f[i]
                {
                    tmp += (c[i][j]*f[j])%mod;
                    tmp %= mod;
                }
                f[i] = pow_mod(i,n)-tmp;
                res *= f[i];
                res %= mod;
                ans += res;
                ans %= mod;
            }
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}

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