【莫比乌斯反演】HDU6248 Problem C. Calculate

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题意：

求

$$\sum_{i=1}^{i\leq A}\sum_{j=1}^{j\leq B}\sum_{k=1}^{k\leq C}\varphi(gcd(i,j^2,k^3))$$

---

分析：

膜拜cch。。。
狄利克雷卷积：$(f*g)(D)=\sum_{d|D}f(d)\times g(\frac D d)$
由狄利克雷卷积的性质，可得

$$e=1*\mu$$ (e表示单位元)
$$\varphi=\varphi*e=\varphi*\mu*1$$ (单位元卷任意函数等于其本身，且狄利克雷卷积具有交换律)
由此可得，原式= $$\sum_{i=1}^{i\leq A}\sum_{j=1}^{j\leq B}\sum_{k=1}^{k\leq C}\sum_{d|i,d|j^2,d|k^3}(\varphi*\mu)(d)$$

$$=\sum_{d=1}^{d\leq A}(\varphi*\mu)(d)\sum_{i=1}^{i\leq A}\sum_{j=1}^{j\leq B}\sum_{k=1}^{k\leq C}[d|i且d|j^2且d|k^3]$$

将x唯一分解，设为$x=\prod p_i^{k_i}$，如果$x|y^t$那么$\prod p_i^{\lceil \frac {k_i} t\rceil}|y$
设$f_t(x)=\prod p_i^{\lceil \frac {k_i} t\rceil}$

那么原式就可以进一步化为

$$=\sum_{d=1}^{d\leq A}(\varphi*\mu)(d)\lfloor \frac A {f_1(d)}\rfloor \lfloor \frac B {f_2(d)}\rfloor \lfloor \frac C {f_3(d)}\rfloor$$

(其实$f_1(x)=x$)
$(\varphi *\mu)$肯定是积性函数，我就不解释了。。。
然后$f_t(x)$也可以通过欧拉筛的性质（被最小的质因数筛到），来线性地筛出来

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<vector>
#define SF scanf
#define PF printf
#define MAXN 10000010
#define MAXP 10000000
#define MOD 1000000007
using namespace std;
int n;
int f[MAXN],f2[MAXN],f3[MAXN],ti[MAXN],las[MAXN];
bool isprime[MAXN];
int primes[MAXN],tot;
void prepare(){
    f[1]=1;
    f2[1]=1;
    f3[1]=1;
    for(int i=2;i<=MAXP;i++){
        if(isprime[i]==0){
            primes[++tot]=i;
            f[i]=i-2;
            las[i]=1;
            ti[i]=1;
            f2[i]=i;
            f3[i]=i;
        }
        for(int j=1;1ll*primes[j]*i<=1ll*MAXP;j++){
            isprime[i*primes[j]]=1;
            if(i%primes[j]==0){
                las[i*primes[j]]=las[i];

                int x=las[i];
                int p=primes[j];
                int px=i*primes[j]/las[i];
                f[i*primes[j]]=(px-2*px/p+px/p/p)*f[x];

                ti[i*primes[j]]=ti[i]+1;
                f2[i*primes[j]]=f2[i];
                if(ti[i]%2==0)
                    f2[i*primes[j]]*=primes[j];
                f3[i*primes[j]]=f3[i];
                if(ti[i]%3==0)
                    f3[i*primes[j]]*=primes[j];
                break;
            }
            las[i*primes[j]]=i;
            ti[i*primes[j]]=1;
            f[i*primes[j]]=f[i]*f[primes[j]];
            f2[i*primes[j]]=f2[i]*f2[primes[j]];
            f3[i*primes[j]]=f3[i]*f3[primes[j]];
        }
    }
}
int main(){
    prepare();
    SF("%d",&n);
    int A,B,C;
    while(n--){
        SF("%d%d%d",&A,&B,&C);
        int ans=0;
        for(int i=1;i<=A;i++)
            ans+=f[i]*(A/i)*(B/f2[i])*(C/f3[i]);
        PF("%d\n",ans&((1<<30)-1));
    }
}