python/sympy求解矩阵方程

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sympy版本:1.2

假设求解矩阵方程

$$AX=A+2X$$
其中
$$A=\left( \begin{matrix} 4& 2& 3\\ 1& 1& 0\\ -1& 2& 3\\ \end{matrix} \right)$$
求解之前对矩阵方程化简为
$$\left( A-2E \right) X=A$$
令
$$B=\left( A-2E \right)$$

使用qtconsole输入下面程序进行求解

In [26]: from sympy  import *

In [27]: from sympy.abc import *

In [28]: A=Matrix([[4,2,3],[1,1,0],[-1,2,3]])

In [29]: A
Out[29]: 
Matrix([
[ 4, 2, 3],
[ 1, 1, 0],
[-1, 2, 3]])

In [30]: B=A-2*diag(1,1,1)

In [31]: B
Out[31]: 
Matrix([
[ 2,  2, 3],
[ 1, -1, 0],
[-1,  2, 1]])

In [32]: B.inv()*A
Out[32]: 
Matrix([
[ 3, -8, -6],
[ 2, -9, -6],
[-2, 12,  9]])

将结果验证一下：

In [38]: X=B.inv()*A

In [39]: X
Out[39]: 
Matrix([
[ 3, -8, -6],
[ 2, -9, -6],
[-2, 12,  9]])

In [40]: A*X-A-2*X
Out[40]: 
Matrix([
[0, 0, 0],
[0, 0, 0],
[0, 0, 0]])

求解矩阵方程过程中注意的问题是左乘还是右乘问题，在此例中是B.inv()*A ，如果矩阵方程变为

$$XA=A+2X$$
那么求解结果为：

In [35]: X=A*B.inv()

In [36]: X
Out[36]: 
Matrix([
[ 3, -8, -6],
[ 2, -9, -6],
[-2, 12,  9]])

将结果验证一下：

X=A*B.inv()

X
Out[36]: 
Matrix([
[ 3, -8, -6],
[ 2, -9, -6],
[-2, 12,  9]])

X*A-A-2*X
Out[37]: 
Matrix([
[0, 0, 0],
[0, 0, 0],
[0, 0, 0]])