很简单的后缀自动机（SAM）

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有关SAM什么的

我好像说过这辈子都是不可能学SAM的真香 主要是我不想初三退役
$SAM$，后缀自动机，英文名Suffix Automaton，一种搞字符串的东西
**陈丽洁**在 $2012$年的冬令营上提出，从此 $SAM$变得广为人知，下面是 $SAM$的定义

• 一个串 $S$的后缀自动机 $(SAM)$是一个有限状态自动机 $(DFA)$，它能且只能接受所有 $S$的后缀(当然，它能做的事情远远不仅限于后缀).

• 后缀自动机其实是一个 $DAG$(有向无环图)，其中顶点是状态，边代表了状态之间的转移.

• 某一状态 $S$被称为初始状态，由它能够到达其余所有状态.

• 自动机的所有转移，都是一条有向边，且都被某种符号标记，从某一状态出发的所有转移必须拥有不同的标记.

• 一个状态被称为终止状态，表示如果我们从初始状态 $S$经任意一条路径走到某一终止状态，并顺序写出经过边的标记，得到的字符串必定是原串的后缀.

• 在符合上述条件的所有自动机中，后缀自动机拥有最少的状态与转移，并且后缀自动机的状态数以及转移数都是 $O(|S|)$的.

以下是陈丽洁的《后缀自动机讲稿》
这里下载，aodq
不过非常不建议去看因为根本看不懂

这篇东西是对 $SAM$的一些感性总结，没有理性证明
所以很短

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SAM的优点

其实 $SAM$……一言难尽

• 后缀自动机，当然可以识别字符串的所有后缀

• 时空复杂度都是 $O(n)$（没有证明）

• 代码复杂度极低，码量令人发指地比 $AC$自动机还短

• 由于子串一定是某个后缀的前缀，所以 $SAM$也可以识别子串

• 转移边的 $DAG$性质使在 $SAM$上 $DP$十分方便

• $parent$边可以套上许多数据结构（树剖、 $LCT$）来维护，功能强大

• 还有什么其他的我也不知道了

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parent边和转移边

• $parent[x]$指向的是字符串 $[S,x]$的最长后缀 $[S,parent[x]]$的右端点

下面是字符串 $aba$的 $parent$边的栗子

比如字符串 $aba$， $parent[3]$为 $[S,3]$的最长后缀 $[S,1]$的右端点 $1$

$SAM$里除了 $parent$边，还有转移边（图中黄色的边是 $parent$边，蓝色的是转移边）
每个点表示一个状态， $SAM$的转移则通过转移边实现

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parent边的连边

对于 $SAM$，可以同时把转移边和 $parent$边搞出来

• 对于现在刚加入的 $now$点， $last$为按照字符串顺序走过来的前一个点， $x$代表新加入的字母

• 从 $last$开始，一直向上找 $last$的 $parent$（ $last=parent[last]$）
  如果当前的某个 $parent$点没有一个儿子连向字母 $x$，我们就加上这条从 $last$到 $now$的转移边，然后接着找 $last$的 $parent$

• 直到这个点有儿子连向字母 $x$，我们就要分两种情况考虑了

举个栗子

这种情况 $now=3$，新加入的字母是 $a$
其实这张图还少了一条 $S$到 $2$的转移边，字母为 $b$

• 设我们向上跳到了第一个符合条件的点是 $p$点， $p$点指向字母 $x$的儿子是 $q$点

• 在这里 $p$点就是根 $S$，发现 $p$有指向字母 $a$的儿子节点 $1$号节点（所以 $q=1$）

• $p$和 $q$之间的距离为 $1$，就可以直接把 $parent[now]$指向 $q$（也就是 $parent[3]=1$）

但是如果 $p$和 $q$点的距离大于 $1$呢？比如

这种情况 $now=3$，新加入的字母是 $b$

此时 $p$点是根 $S$， $q=2$，但是我们不能把 $parent[now]$赋值为 $2$，因为 $ab$不是 $abb$的后缀

• 连错误 $parent$边的原因是我们把 $ab$当成了 $b$（因为从根 $S$到 $2$有两条路）

• 也就是误认为 $ab$是 $abb$的后缀

此时 $SAM$需要加点操作

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加点操作

• 我们新加一个点，从 $p$到新点、从新点到 $now$都连上字母 $x$的转移边

• 注意这个新点不存在原串里，只是 $q$的一个分身虚点，所以 $q$点的所有转移边信息全部复制给新点

• 新点的 $parent$即为 $q$原来的 $parent$， $q$和 $now$的 $parent$边都重新指向新点

• 除此之外我们还要继续向 $parent$边回溯直到根 $S$，把所有指向 $q$的转移边重新指向新点

对于上面 $abb$的情况，应该这样连边

最终 $SAM$的 $parent$边性质没有被破坏，加点操作正确

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code&其他

• 这样的话 $SAM$就建完了

void sam(int x)
{
    int p;
    len[++tot]=len[last]+1,sum[tot]=1,now=tot;
    for (p=last;p && !son[p][x];p=parent[p])son[p][x]=now;
    if (p)
    {
        int q=son[p][x];
        if (len[q]>len[p]+1)
        {
            len[++tot]=len[p]+1;
            memcpy(son[tot],son[q],sizeof(son[q]));
            parent[tot]=parent[q];
            parent[q]=parent[now]=tot;
            for (;son[p][x]==q;p=parent[p])son[p][x]=tot;
        }
        else parent[now]=q;
    } 
    else parent[now]=1;
    last=now;
}

• 再再比如说 $aabbabd$的 $SAM$是这样的

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SAM的一些应用

$SAM$可是很有用的

询问一个串 $T$是否是一个串 $S$的子串

• 建 $S$的 $SAM$

• 然后 $T$在 $SAM$上面跑

询问一个串 $S$有多少个不同的子串

• 建 $S$的 $SAM$

• 从根 $S$出发的任意一条转移边路径都是一个不同的子串

• 答案即为根 $S$出发不同路径数量

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#其实SAM真的很简单……

本人版权意识薄弱……

• 本博客部分知识学习于
• https://blog.csdn.net/cdy1206473601/article/details/80206582
• 并感谢
• https://blog.csdn.net/cdy1206473601