HDU 6390 GuGuFishtion 【gcd+欧拉函数+mobius函数】

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题目链接

题意：已知

$$G_u(a,b)=\frac{\phi(ab)}{\phi(a)\phi(b)}$$
求 $$(\sum_{a=1}^{m}\sum_{b=1}^{n}G_u(a,b))\pmod p$$

先推公式……必不可少的一步

由欧拉函数的定义，

$$\phi(x)=x\prod^{n}_{i=1}(1-\frac{1}{p_i})$$

把$G_u(a,b)$展开，发现分子是a、b和ab的质因数，分母是a、b、a的质因数和b的质因数。而ab的质因数在a的质因数中有出现，在b的质因数中也有出现，也就是说$gcd(a,b)$这部分在分母多出现了一次。约去其他部分后可以得到：

$$G_u(a,b)=\frac{gcd(a,b)}{\phi{(gcd(a,b))}}$$

令$a[i]=\frac{i}{\phi(i)}$，所求式

$$(\sum_{a=1}^{m}\sum_{b=1}^{n}G_u(a,b))\pmod p$$
$$=\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}a[gcd(i,j)]$$
$$=\sum_{k=1}^{min(m,n)}\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}a[k]*[gcd(i,j)==k]$$
$$=\sum_{k=1}^{min(m,n)}a[k]\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}[gcd(i,j)==k]$$

后面这部分可以用mobius函数求出……不会的话可以看看HDU 1695 题解

然后这题还卡常数……能不开long long的尽量用int，并且线性预处理出逆元就可以过了

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=1000000+10;

bool check[maxn];
int prime[maxn],mu[maxn];

void Mobius(){
    memset(check,false,sizeof(check));
    mu[1]=1;
    int tot=0;
    for (int i=2;i<=1000000;i++){
        if (!check[i]){
            prime[tot++]=i;
            mu[i]=-1;
        }
        for (int j=0;j<tot;j++){
            if (i*prime[j]>1000000) break;
            check[i*prime[j]]=true;
            if (i%prime[j]==0){
                mu[i*prime[j]]=0;
                break;
            }
            else{
                mu[i*prime[j]]=-mu[i];
            }
        }
    }
}

int euler[maxn];

void getEuler(){
    memset(euler,0,sizeof(euler));
    euler[1]=1;
    for (int i=2;i<=1000000;i++){
        if (!euler[i]){
            for (int j=i;j<=1000000;j+=i){
                if (!euler[j])  euler[j]=j;
                euler[j]=euler[j]/i*(i-1);
            }
        }
    }
}

ll mod;

ll solve(int a,int b,ll k){
    ll ans=0;
    if (a>b)    swap(a,b);
    a/=k,b/=k;
    for (int i=1;i<=a;i++){
        ans+=1ll*mu[i]*(a/i)*(b/i);
        ans%=mod;
    }
    ll tmp=0;
//  for (int i=1;i<=a;i++){
//      tmp+=1ll*mu[i]*(a/i)*(a/i);
//  }
    return ans-tmp/2;
}

ll qpow(ll x,ll n,ll mod){
    ll ans=1;
    while (n){
        if (n&1)    ans=ans*x%mod;
        n>>=1;
        x=x*x%mod;
    }
    return ans%mod;
}

int T;
int m,n;
ll inv[maxn];
ll a[maxn];

void init(){
    inv[0]=inv[1]=1;
    for (int i=2;i<=min(m,n);i++){
        inv[i]=1ll*inv[mod%i]*(mod-mod/i)%mod;
    }
    for (int i=1;i<=min(m,n);i++){
        a[i]=1ll*i*inv[euler[i]]%mod;
    }
}

int main(){
#ifdef __APPLE__
    freopen("1.in","r",stdin);
#endif
    Mobius();
    getEuler();
    scanf("%d",&T);
    while (T--){
        ll ans=0;
        scanf("%d %d %lld",&m,&n,&mod);
        init();
        for (int k=1;k<=min(m,n);k++){
            ans+=1ll*a[k]*solve(m,n,k);
            ans%=mod;
        }
        printf("%lld\n",ans%mod);
    }
}