网络流模型

最大权闭合子图

定义：图中每个点有点权，或正或负。在选择一个点后，必须选择某些后继点。一般情况求最大的收益。

求解：对于点权为正的点（一般为收益），源点 $S$ 向正权点连边，容量为点的权值。对于点权为负的点（一般为花费），向汇点 $T$ 连边，容量为负权绝对值。对于要选择后继关系的点，前驱点向后继点连边，容量为 $inf$ 。跑最大流，求出最小割。最终答案 = 正权点之和 - 最小割。

解的输出：看跑完最大流后的 $visit$ 数组，若为 $True$ 则表明选择，反之表明不选择。

二分图最大匹配

定义：给出二分图，边代表可能的匹配关系。求出最大的匹配数目。

求解：建立源点 $S$ 和汇点 $T$ ，源点 $S$ 向左点集连边，容量为1，右集合向汇点 $T$ 连边，容量为1。若左集合中某点 $v_l$ 与右集合某点 $v_r$ 有连边，则 $v_l$ 向 $v_r$ 连边，容量为1。跑最大流，最大流即为最大匹配数目。

解的输出：根据跑完最大流后的结果。依次看左集合每个点向右集合边的流量，若为1，表明选中这条边对应的匹配关机，反之不选择。

二分图的最小点覆盖

二分图的最小点覆盖有两种，一种点权全部为1（朴素情况），一种是各个点带不同点权（推广情况）。

朴素二分图最小点覆盖

定义：给出一张二分图，选出最小的点集 $V$ ，使得每一条边至少有一个顶点在 $V$ 中。

求解：二分图的最小点覆盖数目 = 二分图的最大匹配数目

二分图最小点权覆盖

定义：给出一张二分图，选出点集 $V$ ，使得每一条边至少有一个顶点在 $V$ 中，并且点集权值 $\sum_{i=1}^{|V|}v_i$ 最小。

求解：建立源点 $S$ 和汇点 $T$ ，源点 $S$ 向左点集每一点连边，容量为点权值，右点集每一点向汇点 $T$ 连边，容量为点权值。对于二分图内部的边，如 $v_l$ 向 $v_r$ 的边，连边，并且容量为 $inf$ （使得此边不在最小割中）。跑最大流，求出最小割，即为最下点权覆盖权值。

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二分图的最大独立集

二分图的最大独立集分两种，一种点权全部为1（朴素情况），一种是各个点带不同点权（推广情况）。

朴素二分图的最大独立集

定义：给出一张二分图，选出最大的点集 $V$ ，使得点集 $V$ 中没有任意两点有边相连。

求解：二分图的最大独立集 = 顶点数 - 最小点覆盖

二分图的最大点权独立集

定义：给出一张二分图，选出点集 $V$ ，使得点集 $V$ 中没有任意两点有边相连，并且 $\sum_{i=1}^{|V|}v_i$ 最大。

求解：最大点权独立集权值 = 总点权 - 最小点权覆盖权值

有向图最小路径覆盖

有向图最小路径覆盖有两种，分别为最小不相交路径覆盖和最小可相交路径覆盖。

最小不相交路径覆盖

定义：给出 $DAG$ ，求出最小的有向路径条数，记为 $P = \{P_1,P_2 \dots P_n\}$ ，若 $DAG$ 中每个顶点都恰好在 $P$ 的一条道路上，那么 $P$ 则为此 $DAG$ 的最小路径覆盖。注意单个点也可以是一条覆盖路径。

求解：最小路径覆盖数目 = 顶点数 - 最大匹配数目
将每个点 $v_i$ 拆分为 $v_i、v_i'$ 。令 $v_i$ 为二分图左集合， $v_i'$ 为二分图右集合。源点 $S$ 连左集合 $v_i$ ，容量为1，汇点连右集合 $v_i'$ ，容量为1。若原图有 $v_i$ 到 $v_j$ 的有向边，则连边 $v_i$ 到 $v_j'$ ，容量为1。跑最大流，得到最大匹配数目，进而得到最小路径覆盖数目。

解的输出：输出解需要理解左右集合的含义。若右集合中的点 $v_i'$ 在最大流中有边指向，表示最小路径覆盖中有路径以 $v_i$ 结尾；又因为 $DAG$ 中每个点都在路径覆盖中，所以右集合中没有被指向的顶点一定为最小路径覆盖的起始点。据此可以找到所有覆盖路径的起点。
找到起点后，依次枚举每一个点 $v_i'$ ，找到其左集合对应顶点 $v_i$ ，根据最大流中的关系，找到有流量的右集合中的点 $v_j'$ ，再转到 $v_j$ 根据流量关系寻找顶点，知道左集合不存在有流量的出边，表示找完一条覆盖路径。

在这里插入图片描述

如图，从B集合的1找到3，再从3找到4，在从4找到6，因为A中的6不存在有流量的边指出到B集合，故1-3-4-6是其中一条覆盖路径。

最小相交路径覆盖

待填坑

【算法学习】网络流模型与套路