支持向量机SVM——自学第十篇

1、支持向量机

可以解决分类问题，也可以解决回归问题
在这里插入图片描述
在上图所示中，有两类数据，如果使用逻辑回归，那在两组数据中找出一条分界线即可，当然这个分界线有很多种可能。如果有一个新的数据，是靠近红色点的那一边，但是没有过线而被分为了蓝色点，在这种情况下的模型的泛化能力是不高的。
我们选择另一条分割线，使得两组数据距离直线的最近距离相等，这样的模型泛化能力较高。
在这里插入图片描述
再画出两条与分割线相平行的直线，使得在这两条直线当中没有数据点。

在边界线上的数据点叫做支撑向量，两条边界线之间的距离叫做margin（2*d），中间的线叫做最优决策边界，而svm分类器要做的，就是最大化这个margin。这种方法是解决线性可分问题，叫做Hard Margin SVM，解决线性不可分的问题需要用Soft Margin SVM。

2、数学推导（Hard Margin SVM）

（x,y）到直线Ax+By+C=0的距离为 $\frac{\left | Ax+By+C \right |}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}$ ，拓展到n维空间，到中间直线 $w^{T}x+b=0$ 的距离为 $\frac{\left | w^{T}+b \right |}{\left \| w \right \|}$ ，其中 $\left \| w \right \|=\sqrt{w_{1}^{2}+w_{2}^{2}+...+w_{n}^{2}}$ 。
若点到直线的距离>d，则y取1；若将点带入距离公式并去掉绝对值<-d，则y取0>。将d除到左边后可以得到式子：
$w^{T}x^{\left ( i \right )}+b\geq 1$ ，则y取1； $w^{T}x^{\left ( i \right )}+b\leq -1$ ，则y取0。
还可以化简为： $y^{\left ( i \right )}\left ( w^{T}x^{\left ( i \right )}+b \right )\geq 1$
目标函数为：max $\frac{\left | w^{T}+b \right |}{\left \| w \right \|}$ ，因为支持向量带入决策边界方程后分子均为1，所以
目标函数:在： $y^{\left ( i \right )}\left ( w^{T}x^{\left ( i \right )}+b \right )\geq 1$ 的条件下max $\frac{1}{\left \| w \right \|}$ ，(最小化 $\frac{1}{2}\left \|w \right \|^2$ ），这是有条件的最优化问题。

3、Soft Margin和SVM的正则化

为了提高泛化能力和容错能力，在分类时需要不考虑一些极度特殊的点和错误的点。所以就要用到soft margin svm。因为在hard margin svm中，给定的限定条件是必须在>1和<-1的两根直线之外，为了增加容错能力，将两根直线之间的距离稍微小一点（即允许两根线之间有一些点）。需满足：
$y^{\left ( i \right )}\left ( w^{T}x^{\left ( i \right )}+b \right )\geq 1-\xi_{i}$ ，（ $\xi _{i}\geq 0$ ）
为了不使 $\xi$ 无穷大，在目标函数后面增加一项，变成：
min $\frac{1}{2}\left \| w \right \|^2+\sum_{i=1}^{m}C\xi _{i}$
这样使得最小化目标函数的同时能有效抑制 $\xi$ ，同时该项也起到了L1正则化的目的，当然L2正则化就是使用的 $\xi$ 的平方。
C的值越小，给予的容错空间越大，当C=0时，就为Hard Margin SVM。

4、sklearn中实现SVM（分类）

因为计算最大间隔涉及距离，所以如果在不同的维度上量纲不同的话，会使得量纲大的那个维度的数占主导地位。所以在进行svm之前也需要做数据的标准化处理。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn import datasets

iris=datasets.load_iris()
x=iris.data
y=iris.target
#这里只做二分类问题
x=x[y<2,:2]
y=y[y<2]

plt.scatter(x[y==0,0],x[y==1,1],color='r')
plt.scatter(x[y==1,0],x[y==1,1],color='b')
plt.show()

#对数据进行标准化
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
standardscaler=StandardScaler()
standardscaler.fit(x)
x_standard=standardscaler.transform(x)

#加载线性SVM，进行分类工作
##SVC默认采用ovr，多分类时可以改成ovo；默认使用L2方式，也可以使用L1正则化
from sklearn.svm import LinearSVC
svc=LinearSVC(C=1e11)  #C取值越小，容错空间越大
svc.fit(x_standard,y)

#画出决策边界以及两条边界线
def plot_svc(axis):
    w0=svc.coef_[0]
    b=svc.intercept_[0]
#w0*x0+w1*x1+b=0    x1=-w0/w1*x0-b/w1
    plot_x=np.linspace(axis[0],axis[1],200)
    plot_y=-w0[0]/w0[1]*plot_x-b/w0[1]
#画出svm的上下边界，w0*x0+w1*x1+b=1 ，x1=-w0/w1*x0-b/w1+1/w1
    up_y=-w0[0]/w0[1]*plot_x-b/w0[1]+1/w0[1]
    down_y=-w0[0]/w0[1]*plot_x-b/w0[1]-1/w0[1]
    plt.plot(plot_x,plot_y,color='black')
#将上下边界的y轴范围确定在图的范围之内
    up_index=(up_y>=axis[2])&(up_y<=axis[3])
    down_index=(down_y>=axis[2])&(down_y<=axis[3])
    plt.plot(plot_x[up_index],up_y[up_index],color="r")
    plt.plot(plot_x[down_index],down_y[down_index],color="r")
plot_svc(axis=[-3,3,-3,3])
#必须用标准化后的数据进行画图
plt.scatter(x_standard[y==0,0],x_standard[y==1,1],color='r')
plt.scatter(x_standard[y==1,0],x_standard[y==1,1],color='b')
plt.show()

当C的值取的很大（=1e11）时，容错区间较小
在这里插入图片描述
当C的值较小（C=0.1）时，容错空间较大

5、非线性SVM

（1）使用多项式特征的SVM

用PolynomialFeatures生成多项式特征
用StandardScaler进行数据归一化
再利用LinearSVC线性SVM模型

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn import datasets
#用datasets自己生成数据集
x,y=datasets.make_moons(noise=0.1,random_state=666)   #增加数据标准差，加入噪音
plt.scatter(x[y==0,0],x[y==0,1],color='r')
plt.scatter(x[y==1,0],x[y==1,1],color='b')
plt.show()

#使用多项式特征的SVM
from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures,StandardScaler
from sklearn.svm import  LinearSVC
from sklearn.pipeline import Pipeline

def polynomialsvc(degree,C=1.0):
    return Pipeline([
        ("poly",PolynomialFeatures(degree=degree)),
        ("std_scaler",StandardScaler()),
        ("linear_svc",LinearSVC(C=C))
    ])
poly_svc=polynomialsvc(degree=3)
poly_svc.fit(x,y)
print(poly_svc.fit(x,y))

def plot_decision_boundary(model, axis):
    x0, x1 = np.meshgrid(
        np.linspace(axis[0], axis[1], int((axis[1] - axis[0]) * 100)).reshape(-1, 1),
        np.linspace(axis[2], axis[3], int((axis[3] - axis[2]) * 100)).reshape(-1, 1)
    )
    X_new = np.c_[x0.ravel(), x1.ravel()]

    y_predict = model.predict(X_new)
    zz = y_predict.reshape(x0.shape)

    from matplotlib.colors import  ListedColormap
    custom_map=ListedColormap(['#EF9A9A','#FFF59D','#90CAF9'])
    plt.contourf(x0,x1,zz,linewidth=5,cmap=custom_map)

plot_decision_boundary(poly_svc,axis=[-1.5,2.5,-1,2])
plt.scatter(x[y==0,0],x[y==0,1],color='r')
plt.scatter(x[y==1,0],x[y==1,1],color='b')
plt.show()

在这里插入图片描述

（2）使用多项式核函数的SVM

对数据进行归一化
利用核函数SVC(kernel=‘poly’, degree=degree, C=C) （自动多项式化）

from sklearn.svm import SVC
def PolynominalKernelSVC(degree,C=1.0):
    return Pipeline([
        ("sed_scaler",StandardScaler()),
        ("kernel_svc",SVC(kernel='poly'))
    ])
poly_kernel_svc=PolynominalKernelSVC(degree=3)
poly_kernel_svc.fit(x,y)
def plot_decision_boundary(model, axis):
    x0, x1 = np.meshgrid(
        np.linspace(axis[0], axis[1], int((axis[1] - axis[0]) * 100)).reshape(-1, 1),
        np.linspace(axis[2], axis[3], int((axis[3] - axis[2]) * 100)).reshape(-1, 1)
    )
    X_new = np.c_[x0.ravel(), x1.ravel()]
    y_predict = model.predict(X_new)
    zz = y_predict.reshape(x0.shape)
    from matplotlib.colors import  ListedColormap
    custom_map=ListedColormap(['#EF9A9A','#FFF59D','#90CAF9'])
    plt.contourf(x0,x1,zz,linewidth=5,cmap=custom_map)
plot_decision_boundary(poly_kernel_svc,axis=[-1.5,2.5,-1,2])
plt.scatter(x[y==0,0],x[y==0,1],color='r')
plt.scatter(x[y==1,0],x[y==1,1],color='b')
plt.show()

在这里插入图片描述

多项式核函数： $K\left ( x,y \right )=\left ( x\cdot y+c \right )^{d}$
线性核函数： $K\left ( x,y \right )=x\cdot y$
高斯核函数： $K\left ( x,y \right )=e^{-\gamma\left \| x-y \right \|^{2} }$

（3）高斯核函数以及sklearn实现
$K\left ( x,y \right )=e^{-\gamma\left \| x-y \right \|^{2} }$
在高斯函数中，gamma越大，高斯分布越窄，gamma越小，高斯分布越宽

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依靠升维使得原本线性不可分的数据线性可分。
假设有两类数据，分部在x轴上，如图所示这组数据是线性不可分的，即无法用直线将红和蓝分开。
在这里插入图片描述
但是将数据升维，增加一个y轴的维度（= $x^{2}$ ），数据就变得线性可分了。

将高斯核函数 $K\left ( x,y \right )=e^{-\gamma\left \| x-y \right \|^{2} }$ 中的y固定为l1和l2,把一维的数据坐标x变成二维的坐标 $\left ( e^{-\gamma \left \| x-l_{1} \right \|^{2}},e^{-\gamma \left \| x-l_{2} \right \|^{2}} \right )$
在这里插入图片描述

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn import datasets
#用datasets自己生成数据集
x,y=datasets.make_moons(noise=0.1,random_state=666)   #增加数据标准差，加入噪音
plt.scatter(x[y==0,0],x[y==0,1],color='r')
plt.scatter(x[y==1,0],x[y==1,1],color='b')
plt.show()

#用sklearn中的高斯核
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
from sklearn.pipeline import Pipeline
from sklearn.svm import SVC

def RBFkernelSVC(gamma=1.0):
    return Pipeline([
        ("std_scaler",StandardScaler()),
        ("svc",SVC(kernel="rbf",gamma=gamma))
    ])
svc=RBFkernelSVC(gamma=1.0)
svc.fit(x,y)

def plot_decision_boundary(model, axis):
    x0, x1 = np.meshgrid(
        np.linspace(axis[0], axis[1], int((axis[1] - axis[0]) * 100)).reshape(-1, 1),
        np.linspace(axis[2], axis[3], int((axis[3] - axis[2]) * 100)).reshape(-1, 1)
    )
    X_new = np.c_[x0.ravel(), x1.ravel()]

    y_predict = model.predict(X_new)
    zz = y_predict.reshape(x0.shape)

    from matplotlib.colors import  ListedColormap
    custom_map=ListedColormap(['#EF9A9A','#FFF59D','#90CAF9'])
    plt.contourf(x0,x1,zz,linewidth=5,cmap=custom_map)

plot_decision_boundary(svc,axis=[-1.5,2.5,-1,2])
plt.scatter(x[y==0,0],x[y==0,1],color='r')
plt.scatter(x[y==1,0],x[y==1,1],color='b')
plt.show()

利用rbf内核，gamma取值为1的时候画出决策边界
在这里插入图片描述
当gamma=100时（因为gamma越大，高斯分布的范围越窄）

当gamma=0.1时

可以看出，当gamma值越大，高斯分布的中心范围越窄，也就是以每一个点为中心周边围绕的区域变小，当然这样的gamma值使得模型过拟合了（泛化能力低）；当gamma值很小，高斯分布的中心范围就会变得很大，每一个点的周边范围也会变得很大，如上图所示分界线近似于一条直线，这也就变成了欠拟合。
从另一个角度来说，gamma影响着模型的复杂度，gamma值越小，模型复杂度越小（欠拟合），gamma值越大，模型负责度越大（过拟合）。

6、用SVM实现回归问题

在分类任务中，我们利用了决策边界直线进行分割，并且得到了使得margin区域最大时的上下边界，在这个边界中不允许有数据点存在。而在回归问题中，我们也可以使用上下边界的概念，在得到拟合曲线之后，我们定义距离拟合曲线margin（ $\epsilon$ ）的两条直线为上下边界，与分类问题相反，在上下边界中包含的数据点的个数越多越好。
在这里插入图片描述

from sklearn import datasets

boston=datasets.load_boston()
x=boston.data
y=boston.target

from sklearn.model_selection import train_test_split
x_train,x_test,y_train,y_test=train_test_split(x,y,random_state=666)

#使用svm中的回归函数
from sklearn.svm import LinearSVR
from sklearn.svm import SVR
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
from sklearn.pipeline import Pipeline

def standardLinearSVR(epsilon=0.1):
    return Pipeline([
        ("std_scaler",StandardScaler()),
        ("linearSVR",LinearSVR(epsilon=epsilon))
    ])
svr=standardLinearSVR()
svr.fit(x_train,y_train)
print(svr.score(x_test,y_test))

可以使用LinearSVR也可以使用SVR，使用LinearSVR时可以改变epsilon的值，C的值；使用SVR时可以改变的超参数有核函数，可以使用高斯核，可以改变gamma的值等。可以通过改变各种超参数，或者使用交叉验证的方式，来提高精确度。