最小生成树之prim算法（转载出处）
边赋以权值的图称为网或带权图，带权图的生成树也是带权的，生成树T各边的权值总和称为该树的权。
最小生成树（MST）：权值最小的生成树。
生成树和最小生成树的应用：要连通n个城市需要n－1条边线路。可以把边上的权值解释为线路的造价。则最小生成树表示使其造价最小的生成树。
构造网的最小生成树必须解决下面两个问题：
1、尽可能选取权值小的边，但不能构成回路；
2、选取n－1条恰当的边以连通n个顶点；
MST性质：假设G＝(V,E)是一个连通网，U是顶点V的一个非空子集。若(u,v)是一条具有最小权值的边，其中u∈U，v∈V－U，则必存在一棵包含边(u,v)的最小生成树。
1.prim算法
基本思想：假设G＝(V，E)是连通的，TE是G上最小生成树中边的集合。算法从U＝{u0}（u0∈V）、TE＝{}开始。重复执行下列操作：
在所有u∈U，v∈V－U的边(u，v)∈E中找一条权值最小的边(u0,v0)并入集合TE中，同时v0并入U，直到V＝U为止。
此时，TE中必有n-1条边，T=(V，TE)为G的最小生成树。
Prim算法的核心:始终保持TE中的边集构成一棵生成树。
注意：prim算法适合稠密图，其时间复杂度为O(n^2)，其时间复杂度与边得数目无关，而kruskal算法的时间复杂度为O(eloge)跟边的数目有关，适合稀疏图。
看了上面一大段文字是不是感觉有点晕啊，为了更好理解我在这里举一个例子，示例如下：
（1）图中有6个顶点v1-v6，每条边的边权值都在图上；在进行prim算法时，我先随意选择一个顶点作为起始点，当然我们一般选择v1作为起始点，好，现在我们设U集合为当前所找到最小生成树里面的顶点，TE集合为所找到的边，现在状态如下：
U={v1}； TE={}；
（2）现在查找一个顶点在U集合中，另一个顶点在V-U集合中的最小权值，如下图，在红线相交的线上找最小值。
通过图中我们可以看到边v1-v3的权值最小为1，那么将v3加入到U集合，（v1，v3）加入到TE，状态如下：
U={v1，v3}； TE={（v1，v3）}；
（3）继续寻找，现在状态为U={v1，v3}； TE={（v1，v3）}；在与红线相交的边上查找最小值。
我们可以找到最小的权值为（v3，v6）=4，那么我们将v6加入到U集合，并将最小边加入到TE集合，那么加入后状态如下：
U={v1，v3，v6}； TE={（v1，v3），（v3，v6）}； 如此循环一下直到找到所有顶点为止。
（4）下图像我们展示了全部的查找过程：
2.prim算法程序设计
（1）由于最小生成树包含每个顶点，那么顶点的选中与否就可以直接用一个数组来标记used[max_vertexes];（我们这里直接使用程序代码中的变量定义，这样也易于理解）；当选中一个数组的时候那么就标记，现在就有一个问题，怎么来选择最小权值边，注意这里最小权值边是有限制的，边的一个顶点一定在已选顶点中，另一个顶点当然就是在未选顶点集合中了。我最初的一个想法就是穷搜了，就是在一个集合中选择一个顶点，来查找到另一个集合中的最小值，这样虽然很易于理解，但是很明显效率不是很高，在严蔚敏的《数据结构》上提供了一种比较好的方法来解决：设置两个辅助数组lowcost[max_vertexes]和closeset[max_vertexes]，lowcost[max_vertexes]数组记录从U到V－U具有最小代价的边。对于每个顶点v∈V－U,closedge[v], closeset[max_vertexes]记录了该边依附的在U中的顶点。
注意：我们在考虑两个顶点无关联的时候设为一个infinity 1000000最大值。
说了这么多，感觉有点罗嗦，还是发扬原来的风格举一个例子来说明，示例如下：
过程如下表：顶点标号都比图中的小1，比如v1为0，v2为1，这里首先选择v1点。
|
|
Lowcost[0] |
Lowcost[1] |
Lowcost[2] |
Lowcost[3] |
Lowcost[4] |
Lowcost[5] |
U |
V-U |
| closeset |
v1，infinity |
v1，6 |
v1，1 |
v1，5 |
v1，infinity |
v1，infinity |
v1 |
v1,v2,v3,v4,v5,v6 |
从这个表格可以看到依附到v1顶点的v3的Lowcost最小为1，那么选择v3，选择了之后我们必须要更新Lowcost数组的值，因为记录从U到V－U具有最小代价的边，加入之后就会改变。这里更新Lowcost和更新closeset数组可能有点难理解，
for (k=1;k
if (!used[k]&&(G[j][k]
{ lowcost[k]=G[j][k];
closeset[k]=j; }
}
j为我们已经选出来的顶点，如果G[j][k]，则意味着最小权值边发生变化，更新该顶点的最小lowcost权值，依附的顶点肯定就是刚刚选出的顶点j，closeset[k]=j。
|
|
Lowcost[0] |
Lowcost[1] |
Lowcost[2] |
Lowcost[3] |
Lowcost[4] |
Lowcost[5] |
U |
V-U |
| closeset |
v1，infinity |
v1，6 |
v1，1 |
v1，5 |
v3，6 |
v3，4 |
v1，v3 |
v1,v2,v4,v5,v6 |
这样一直选择下去直到选出所有的顶点。
（2）上面把查找最小权值的边结束了，但是这里有一个问题，就是我们没有存储找到的边，如果要求你输出找到的边那么这个程序就需要改进了，我们刚开始的时候选取的是v1作为第一个选择的顶点，那我们设置一个father[]数组来记录每个节点的父节点，当然v1的父节点肯定没有，那么我们设置一个结束标志为-1，每次找到一个新的节点就将它的父节点设置为他依附的节点，这样就可以准确的记录边得存储了。
最小生成树，克鲁斯卡尔算法．（转载出处）
算法简述：
将每个顶点看成一个图．
在所有图中找权值最小的边．将这条边的两个图连成一个图，
重复上一步．直到只剩一个图．
注：将ａｂｃｄｅｆ每个顶点看成一个图．将最小权值的边的两个图连接．
连接最小权值为１的两个图，这时ａ－ｃ，ｂ，ｄ，ｅ，ｆ．
连接最小权值为２的两个图，这时ａ－ｃ，ｂ，ｄ－ｆ，ｅ．
连接最小权值为３的两个图，这时ａ－ｃ，ｂ－ｅ，ｄ－ｆ．
连接最小权值为４的两个图，这时ａ－ｃ－ｆ－ｄ，ｂ－ｅ．（ｃ－ｆ）
连接最小权值为５的两个图，这时ａ－ｃ－ｂ－ｅ－ｆ－ｄ．（ｂ－ｃ）
结束．
根据上述操作，我们需要一个存储边信息的数组（Edge结构体），Edge包含了边的两个节点和权值．
1 typedef struct
2 {
3 int head;//边的始点下标
4 int tail;//边的终点下标
5 int power;//边的权值
6 } Edge;还需要一个visited数组，用来标识图中的节点信息．
算法操作：
初始化一棵树（用来保存最小生成树，直接输出也行．）
将图中所有边复制到一个数组中，将数组排序（递增顺序）
将小边的两个顶点连接．将两个图合并成一个图．
重复上一步．
临街矩阵的代码实现
代码中，ｉｊｋ做循环用，ｖ１，ｖ２做边的两个顶点信息的下标，ｖｓ１，ｖｓ２做标识ｖ１和ｖ２所属图
１－２７行，初始化visited,edge,kruskal_tree等信息．
２９－４４行，生成一棵最小生成树．
３５行，ｉｆ是为了防止回路，ｖｓ１和ｖｓ２标识一个这两点是否属于一个图．
３８行，ｆｏｒ是为了将ｖｉｓｉｔｅｄ数组中ｖｓ２边成ｖｓ１，因为这时，ｖ１和ｖ２已经在一个图里了．
1 void kruskal(Graph * graph, Graph * kruskal_tree)
2 {
3 int visited[graph->vertexs];
4 Edge edge[graph->brim];
5 int i, j, k;
6 int v1, v2, vs1, vs2;
7
8 for ( i = 0; i < graph->vertexs; i++ )
9 visited[i] = i;
10
11 k = 0;
12 for ( i = 0; i < graph->vertexs; i++ )
13 {
14 for ( j = i + 1; j < graph->vertexs; j++ )
15 {
16 if ( graph->arcs[i][j] != MAX_VALUE )
17 {
18 edge[k].head = i;
19 edge[k].tail = j;
20 edge[k].power = graph->arcs[i][j];
21 k++;
22 }
23 }
24 }
25
26 init_kruskal(graph, kruskal_tree);
27 my_sort(edge, graph->brim);
28
29 for ( i = 0; i < graph->brim; i++ )
30 {
31 v1 = edge[i].head;
32 v2 = edge[i].tail;
33 vs1 = visited[v1];
34 vs2 = visited[v2];
35 if ( vs1 != vs2 )
36 {
37 kruskal_tree->arcs[v1][v2] = graph->arcs[v1][v2];
38 for ( j = 0; j < graph->vertexs; j++ )
39 {
40 if ( visited[j] == vs2 )
41 visited[j] = vs1;
42 }
43 }
44 }
45 }临街矩阵源码：http://www.cnblogs.com/ITgaozy/p/5200637.html
邻接表的代码实现
１７行，ｉｆ是为了将防止边的重复输入（在邻接矩阵中，点在矩阵中是对称的，所以我们只输入一个上三角中的数据就够了．但在邻接表中，我们如何判断一条边是否已经输入过了？ 我的方法是将比当前节点下标大的输入，例如右ａ，ｂ两个节点，ａ的节点小与ｂ，我们在输入ｂ的信息时，由于ａ的节点下标比ｂ小，不输入ａ－ｂ这条边，因为我们在输入ａ的信息时，ａ－ｂ这条边已经输入过了．
1 void kruskal(Graph * graph, Graph * kruskal_tree)
2 {
3 int visited[graph->vertexs];
4 int i, j;
5 Edge edge[graph->brim];
6 int v1, v2, vs1, vs2;
7 Arc_node * cur, * tmp;
8
9 for ( i = 0; i < graph->vertexs; i++ )
10 visited[i] = i;
11
12 for ( i = 0, j = 0; i < graph->vertexs; i++ )
13 {
14 cur = graph->adjlist[i].next;
15 while ( cur != NULL )
16 {
17 if ( cur->pos > i )
18 {
19 edge[j].head = i;
20 edge[j].tail = cur->pos;
21 edge[j].power = cur->distance;
22 j++;
23 }
24 cur = cur->next;
25 }
26 }
27
28 init_kruskal(graph, kruskal_tree);
29 my_sort(edge, graph->brim);
30
31 for ( i = 0; i < graph->brim; i += 1 )
32 {
33 v1 = edge[i].head;
34 v2 = edge[i].tail;
35 vs1 = visited[v1];
36 vs2 = visited[v2];
37 if ( vs1 != vs2 )
38 {
39 if ( kruskal_tree->adjlist[v1].next == NULL )
40 {
41 kruskal_tree->adjlist[v1].next = make_node(v2, edge[i].power);
42 }
43 else
44 {
45 tmp = kruskal_tree->adjlist[v1].next;
46 while ( tmp->next != NULL )
47 tmp = tmp->next;
48 tmp->next = make_node(v2, edge[i].power);
49 }
50 for ( j = 0; j < graph->vertexs; j++ )
51 {
52 if ( visited[j] == vs2 )
53 visited[j] = vs1;
54 }
55 }
56 }
57 }邻接表源码：http://www.cnblogs.com/ITgaozy/p/5200643.html