[kuangbin带你飞]专题七 线段树 题解（未完）

其他 2018-09-27 16:34:12 阅读次数: 0
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[kuangbin带你飞]专题七 线段树

题解：
A 经典的单点更新，区间求和：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define root 1,n,1
#define lson l,m,rt<<1
#define rson m+1,r,rt<<1|1
const int N=5e4+10;
int n,sum[N<<2];
void push_up(int rt){
   sum[rt]=sum[rt<<1]+sum[rt<<1|1];
}

void build(int l,int r,int rt){
   if(l==r){
      scanf("%d",&sum[rt]);
      return;
   }
   int m=l+r >>1;
   build(lson); build(rson);
   push_up(rt);
}

void update(int o,int v,int l,int r,int rt){
   if(l==r){
     sum[rt]+=v;
     return;
   }
   int m=l+r >>1;
   if(o<=m) update(o,v,lson);
   else update(o,v,rson);
   push_up(rt);
}

int query(int L,int R,int l,int r,int rt){
   if(L<=l&&R>=r) return sum[rt];
   int m=l+r>>1;
   int res=0;
   if(L<=m) res+=query(L,R,lson);
   if(R>m) res+=query(L,R,rson);
   return res;
}

int main(){
    int T; scanf("%d",&T);
    int cas = 0;
    while(T--) {
        printf("Case %d:\n", ++cas);
        scanf("%d",&n);
        build(root);
        char op[10]; int x, y;
        while(scanf("%s",op)) {
            if(op[0] == 'E') break;
            scanf("%d%d",&x,&y);
            if(op[0] == 'Q') printf("%d\n",query(x, y,root));
            else if(op[0] == 'A') update(x, y, root);
            else if(op[0] == 'S') update(x, -y, root);
        }
    }
}

B.经典的单点更新，区间查询最大值

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=2e5+10,inf=0x37373737;
int maxx[N*4];
void push_up(int x){
   maxx[x]=max(maxx[x<<1],maxx[x<<1|1]);
}

void build(int x,int l,int r){
  if(l==r){
     scanf("%d",&maxx[x]);
     return;
  }
  int mid=(l+r)>>1;
  build(x<<1,l,mid);
  build(x<<1|1,mid+1,r);
  push_up(x);
}

void update(int o,int v,int l,int r,int x){
  if(l==r){
     maxx[x]=v;
     return;
  }
  int mid=(l+r)>>1;
  if(mid>=o) update(o,v,l,mid,x<<1);
  else update(o,v,mid+1,r,x<<1|1);
  push_up(x);
}

int query(int L,int R,int l,int r,int x){
  if(L<=l&&R>=r) return maxx[x];
  int res=-inf;
  int mid=(l+r)>>1;
  if(L<=mid) res=max(res,query(L,R,l,mid,x<<1));
  if(R>mid) res=max(res,query(L,R,mid+1,r,x<<1|1));
  return res;
}

int main(){
   int n,m;
   while(~scanf("%d%d",&n,&m)){
     build(1,1,n);
     while(m--){
        char op[2];scanf("%s",op);
        int a,b;scanf("%d%d",&a,&b);
        if(op[0]=='Q') printf("%d\n",query(a,b,1,n,1));
        else update(a,b,1,n,1);
     }
   }
}

C.区间更新，区间查询
区间更新加了一个延迟更新的push_down操作，就是在更新或者查询到当前节点的左右儿子节点时，提前更新它的左右儿子节点，保证要查询当前区间才会去更新他下面的节点。
这就是懒惰操作lazy propagation 。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define root 1, n, 1
#define lson l, m, rt << 1
#define rson m + 1, r, rt << 1 | 1

const int N=1e5+6;
ll sum[N<<4],add[N<<4];
int n,q;
void push_up(int rt){
   sum[rt]=sum[rt<<1]+sum[rt<<1|1];
}

void push_down(int rt,int m){
    if(add[rt]){
        add[rt<<1]+=add[rt];
        add[rt<<1|1]+=add[rt];
        sum[rt<<1]+=add[rt]*(m-(m>>1));
        sum[rt<<1|1]+=add[rt]*(m>>1);
        add[rt]=0;
    }
}

void build(int l,int r,int rt){
   add[rt]=0;
   if(l==r){
      scanf("%lld",&sum[rt]);
      return;
   }
   int m=(l+r)>>1;
   build(lson);
   build(rson);
   push_up(rt);
}


void update(int L,int R,int v,int l,int r,int rt){
   if(L<=l&&r<=R){
      add[rt]+=v;
      sum[rt]+=(ll)v*(r-l+1);
      return;
   }
   push_down(rt,r-l+1);
   int m=l+r >>1;
   if(L<=m) update(L,R,v,lson);
   if(R>m) update(L,R,v,rson);
   push_up(rt);
}

ll query(int L,int R,int l,int r,int rt){
    if(L<=l&&r<=R) return sum[rt];
    push_down(rt,r-l+1);
    int m=(l+r)>>1;
    ll res=0;
    if(L<=m) res+=query(L,R,lson);
    if(R>m) res+=query(L,R,rson);
    return res;
}

int main(){
    while(scanf("%d%d",&n,&q)==2){
        build(root);
        while(q--){
            char op[2]; int x, y, z;
            scanf("%s%d%d", op, &x, &y);
            if(op[0] == 'Q') printf("%lld\n", query(x,y,root));
            else {
                scanf("%d",&z);
                update(x,y,z, root);
            }
        }
    }
}

D区间点染色问题.
先离散化处理点范围，区间染色问题实际就是
详细题解

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<iostream>
#include<queue>
using namespace std;
const int N=1e4+10;

int x1[N],x2[N],vis[6*N*4],cnt[N],ans,n;
int compress(int *x1,int *x2,int w){
   vector<int> xs;
   for(int i=1;i<=n;i++){
     for(int d=-1;d<=1;d++){
        int tx1=x1[i]+d,tx2=x2[i]+d;
        if(1<=tx1&&tx1<=w) xs.push_back(tx1);
        if(1<=tx2&&tx2<=w) xs.push_back(tx2);
     }
   }
   sort(xs.begin(),xs.end());
   xs.erase(unique(xs.begin(),xs.end()),xs.end());
   for(int i=1;i<=n;i++){
     x1[i]=find(xs.begin(),xs.end(),x1[i])-xs.begin()+1;
     x2[i]=find(xs.begin(),xs.end(),x2[i])-xs.begin()+1;
   }
   return xs.size();
}

void push_down(int rt){
   if(vis[rt]){
      vis[rt<<1]=vis[rt<<1|1]=vis[rt];
      vis[rt]=0;
   }
}

void update(int L,int R,int c,int l,int r,int rt){
   if(L<=l&&r<=R){
      vis[rt]=c;
      return;
   }
   int m=(l+r)>>1;
   push_down(rt);
   if(L<=m) update(L,R,c,l,m,rt<<1);
   if(R>m) update(L,R,c,m+1,r,rt<<1|1);
}

void query(int l,int r,int rt){
   if(vis[rt]){
      if(!cnt[vis[rt]]){
          ans++;cnt[vis[rt]]=1;
      }
      return;
   }
   if(l==r) return;
   int m=l+r>>1;
   query(l,m,rt<<1);
   query(m+1,r,rt<<1|1);
}

int main(){
  int T;scanf("%d",&T);
  while(T--){
     int w=0;scanf("%d",&n);
     for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d%d",x1+i,x2+i);
     }
     w=compress(x1,x2,1e7);
     //cout<<"ok"<<w<<endl;
     memset(cnt,0,sizeof(cnt));
     memset(vis,0,sizeof(vis));
     for(int i=1;i<=n;i++){
        update(x1[i],x2[i],i,1,w,1);
     }
     ans=0;
     //cout<<"ok"<<endl;
     query(1,w,1);
     printf("%d\n",ans);
  }
}

E区间修改，区间求和

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define root 1, n, 1
#define lson l, m, rt << 1
#define rson m + 1, r, rt << 1 | 1

const int N=1e5+6;
ll sum[N<<4],add[N<<4];
int n,q;

void push_up(int rt){
   sum[rt]=sum[rt<<1]+sum[rt<<1|1];
}

void push_down(int rt,int m){
    if(add[rt]){
        add[rt<<1]=add[rt];
        add[rt<<1|1]=add[rt];
        sum[rt<<1]=add[rt]*(m-(m>>1));
        sum[rt<<1|1]=add[rt]*(m>>1);
        add[rt]=0;
    }
}

void build(int l,int r,int rt){
   add[rt]=0;
   if(l==r){
      sum[rt]=1;
      return;
   }
   int m=(l+r)>>1;
   build(lson);
   build(rson);
   push_up(rt);
}


void update(int L,int R,int v,int l,int r,int rt){
   if(L<=l&&r<=R){
      add[rt]=v;
      sum[rt]=(ll)v*(r-l+1);
      return;
   }
   push_down(rt,r-l+1);
   int m=l+r >>1;
   if(L<=m) update(L,R,v,lson);
   if(R>m) update(L,R,v,rson);
   push_up(rt);
}

ll query(int L,int R,int l,int r,int rt){
    if(L<=l&&r<=R) return sum[rt];
    push_down(rt,r-l+1);
    int m=(l+r)>>1;
    ll res=0;
    if(L<=m) res+=query(L,R,lson);
    if(R>m) res+=query(L,R,rson);
    return res;
}

int main(){
    int T,cnt=1;scanf("%d",&T);
    while(T--){
        scanf("%d%d",&n,&q);
        build(root);
        while(q--){
            int a,b,c;scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
            update(a,b,c,root);
        }
        printf("Case %d: The total value of the hook is %lld.\n",cnt++,query(1,n,root));
    }
}

F 区间线段染色问题.

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e4;
int vis[N<<2],col[N],last;

void push_down(int rt){
   if(vis[rt]>=0){
      vis[rt<<1]=vis[rt<<1|1]=vis[rt];
      vis[rt]=-1;
   }
}

void update(int L,int R,int c,int l,int r,int rt){
   if(L<=l&&r<=R){
      vis[rt]=c;
      return;
   }
   int m=(l+r)>>1;
   push_down(rt);
   if(L<=m) update(L,R,c,l,m,rt<<1);
   if(R>m) update(L,R,c,m+1,r,rt<<1|1);
}

void query(int l,int r,int rt){
   if(l==r){
      if(vis[rt]!=last) col[vis[rt]]++;
      last=vis[rt];
      return;
   }
   push_down(rt);
   int m=l+r>>1;
   query(l,m,rt<<1);
   query(m+1,r,rt<<1|1);
}


int main(){
    int n;
    while(~scanf("%d",&n)){
        memset(vis,-1,sizeof(vis));
        memset(col,0,sizeof(col));
        for(int i=0;i<n;i++){
            int a,b,c;scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
            if(a+1<=b) update(a+1,b,c,1,8000,1);
        }
        last=-1;
        query(1,8000,1);
        for(int i=0;i<=8000;i++){
            if(col[i]>0) printf("%d %d\n",i,col[i]);
        }
        printf("\n");
    }
}

G 没有修改的区间最值问题

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=1<<16;
int dmin[N][16],dmax[N][16],n,m,A[N];

void RMQ_init(){
   for(int i=0;i<n;i++) dmin[i][0]=A[i],dmax[i][0]=A[i];
   for(int j=1;(1<<j)<=n;j++){
     for(int i=0;i+(1<<j)-1<n;i++){
        dmin[i][j]=min(dmin[i][j-1],dmin[i+(1<<(j-1))][j-1]);
        dmax[i][j]=max(dmax[i][j-1],dmax[i+(1<<(j-1))][j-1]);
     }
   }
}

int rmq(int l,int r,int ok){//ok=0返回最小值,ok=1返回最大值
   int k=0;
   while((1<<(k+1))<=r-l+1) k++;
   return ok==0 ? min(dmin[l][k],dmin[r-(1<<k)+1][k]) : max(dmax[l][k],dmax[r-(1<<k)+1][k]);
}

int main(){
    while(~scanf("%d%d",&n,&m)){
        for(int i=0;i<n;i++) scanf("%d",&A[i]);
        RMQ_init();
        while(m--){
            int a,b;scanf("%d%d",&a,&b);
            printf("%d\n",rmq(a-1,b-1,1)-rmq(a-1,b-1,0));
        }
    }
}

H.区间开方的修改，区间求和
看似无法懒惰标记的区间求和问题。但题目里隐含了只要求和求整数和，根据题目所有数之和不超过2^63我们可以估计区间和不会更新很多次就变成1。区间更新时候有一个剪枝，不需要push_down操作。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1e5+10;

#define root 1,n,1
#define lson l,m,rt<<1
#define rson m+1,r,rt<<1|1

ll sum[N<<2];

void push_up(int rt){
    sum[rt]=sum[rt<<1]+sum[rt<<1|1];
}

void build(int l,int r,int rt){
    if(l==r){
       scanf("%lld",&sum[rt]);
       return;
    }
    int m=(l+r)>>1;
    build(l,m,rt<<1);
    build(m+1,r,rt<<1|1);
    push_up(rt);
}

void update(int L,int R,int l,int r,int rt){
   if(sum[rt]==r-l+1) return;
   if(l==r){
      sum[rt]=sqrt(sum[rt]);
      return;
   }
   int m=(l+r)>>1;
   if(L<=m) update(L,R,lson);
   if(R>m) update(L,R,rson);
   push_up(rt);
}

ll query(int L,int R,int l,int r,int rt){
   if(L<=l&&r<=R){
      return sum[rt];
   }
   ll res=0;
   int m=(l+r)>>1;
   if(L<=m)  res+=query(L,R,lson);
   if(R>m) res+=query(L,R,rson);
   return res;
}

int main(){
   int n,cas=1;
   while(scanf("%d",&n)==1){
        build(root);
        int q;scanf("%d",&q);
        printf("Case #%d:\n",cas++);
        while(q--){
            int o,a,b;scanf("%d%d%d",&o,&a,&b);
            if(a>b) swap(a,b);
            if(o==0) update(a,b,1,n,1);
            else printf("%lld\n",query(a,b,1,n,1));
        }
        printf("\n");
   }
}

I求连续区间最大和
题解

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define root 1,n,1
#define lson l,m,rt<<1
#define rson m+1,r,rt<<1|1
const int N=5e4+10;
int lsum[N<<2],rsum[N<<2],sta[N],n,q;
void push_up(int rt,int m){
   lsum[rt]=lsum[rt<<1];
   rsum[rt]=rsum[rt<<1|1];
   if(lsum[rt<<1]==m-(m>>1)) lsum[rt]+=lsum[rt<<1|1];
   if(rsum[rt<<1|1]==m>>1) rsum[rt]+=rsum[rt<<1];
}

void build(int l,int r,int rt){
   lsum[rt]=rsum[rt]=r-l+1;
   if(l==r) return;
   int m=l+r >>1;
   build(l,m,rt<<1);
   build(m+1,r,rt<<1|1);
}

void update(int o,int v,int l,int r,int rt){
   if(l==r){
       lsum[rt]=rsum[rt]=v;
       return;
   }
   int m=l+r>>1;
   if(o<=m) update(o,v,lson);
   else update(o,v,rson);
   push_up(rt,r-l+1);
}


int query(int o,int l,int r,int rt){
    if(l==r) return 0;
    int m=l+r >>1;
    if(o>=m-rsum[rt<<1]+1&&o<=m+lsum[rt<<1|1]){
        return rsum[rt<<1]+lsum[rt<<1|1];
    }
    if(o<=m) return query(o,lson);
    else return query(o,rson);
}

int main(){
    while(~scanf("%d%d",&n,&q)){
        build(root);
        int t=0;
        while(q--){
            char op[2];scanf("%s",op);
            if(op[0]=='R'){
                int x=sta[--t];
                update(x,1,root);
            }
            else{
                int x;scanf("%d",&x);
                if(op[0]=='D'){
                    update(x,0,root);
                    sta[t++]=x;
                }
                else printf("%d\n",query(x,root));
            }
        }
    }
}

J.dfs序+区间染色染色
题意：给定一个树(n<=50000)，有两个操作(q<=50000):
1.更新一个节点信息，他的子孙节点都会被更新成同样信息.
2.查询任意一个节点的信息。

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思路：
从树的根开始一遍dfs序，用l,r两个数组构造重新给每个节点分配的范围，比如根节点就是[1，n],一直到叶子节点。
然后就是区间点染色问题。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=5e4+10;
int l[N],r[N],vis[N<<2];
#define root 1,n,1
#define lson l,m,rt<<1
#define rson m+1,r,rt<<1|1

void push_down(int rt){
   if(vis[rt]>=0){
      vis[rt<<1]=vis[rt<<1|1]=vis[rt];
      vis[rt]=-1;
   }
}

void update(int L,int R,int c,int l,int r,int rt){
   if(L<=l&&r<=R){
      vis[rt]=c;
      return;
   }
   int m=(l+r)>>1;
   push_down(rt);
   if(L<=m) update(L,R,c,l,m,rt<<1);
   if(R>m) update(L,R,c,m+1,r,rt<<1|1);
}

int query(int o,int l,int r,int rt){
   if(l==r){
      return vis[rt];
   }
   push_down(rt);
   int m=l+r>>1;
   if(o<=m)return query(o,lson);
   else return query(o,rson);
}

vector<int>E[N];
int cnt;
bool use[N];

void dfs(int u){
    l[u]=++cnt;
    for(int i=0;i<E[u].size();i++){
        int v=E[u][i];
        dfs(v);
    }
    r[u]=cnt;
}

int main(){
    int T,cas=1;scanf("%d",&T);
    while(T--){
        cnt=0;
        int n;scanf("%d",&n);
        for(int i=0;i<=n;i++) E[i].clear();
        memset(use,false,sizeof(use));
        for(int i=0;i<n-1;i++){
           int a,b;scanf("%d%d",&a,&b);
           E[b].push_back(a);
           use[a]=true;
        }
        for(int i=1;i<=n;i++){
            if(!use[i]){
                dfs(i);
                break;
            }
        }
        printf("Case #%d:\n",cas++);
        memset(vis,-1,sizeof(vis));
        int q;scanf("%d",&q);
        while(q--){
            char op[2];scanf("%s",op);
            if(op[0]=='C'){
                int x;scanf("%d",&x);
                printf("%d\n",query(l[x],1,cnt,1));
            }
            else{
               int a,b;scanf("%d%d",&a,&b);
               update(l[a],r[a],b,1,cnt,1);
            }
        }
    }
}

“`

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