https://www.zybuluo.com/ysner/note/1295414
题面
\(R\)是一个猎人,他准备打猎,他站在平面直角坐标系的\((0,0)\)位置。
天上有\(n\)只小鸟从右往左以\(1m/s\)的速度水平飞过,每只小鸟都是一条水平方向的线段。
由于\(R\)枪法不太好,他只会竖直向上开枪,此时与\(y\)轴有交(包括端点)的小鸟都会被击中并成为\(R\)的猎物。
\(R\)在开完一枪后需要\(k\)秒来装弹,在此期间不能再次开枪。
你需要求出\(R\)最多能得到多少只猎物。
\(n\leq10^5,\max\{|l|,|r|\}\leq5*10^5\)
解析
很容易能想到一个\(DP\)方程式：
设\(f_i\)表示当时间进行到时刻\(i\)，并且这时打一枪，最多总共获得多少猎物。
设\(s_i\)表示在时间\(i\)打一枪能获得多少收益。
设\(chongfu(i,j)\)表示\(s_i\)与\(f_j\)中包含猎物的重复个数。
则\[f_i=\max_{j=0}^{i-k}\{f_j-chongfu(i,j)\}+s_i\]
看起来那个\(chongfu(i,j)\)相当难求，因为每转移一次，都要维护转移到\(f_i\)的猎物，还要去重，复杂度很危险。
其实不妨这么想，可以用差分\(O(n)\)求出所有\(s_j\)。同时出现在\(j\)、\(i\)的线段，就是在\(j\)中出现后，到\(i\)时没有被删除的线段。
我们可以在更新\(f_j\)的值时，在线段树上将其更新为：\(f_j-\)在\(j\)出的边，这样每当一条线段终结时，在线段树上给这条线段区间加一即可。
这样在到时刻\(i\)时，\(f_j\)的值就是\(f_j-chongfu(i,j)\)。
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<set>
#define ll long long
#define re register
#define il inline
#define ls x<<1
#define rs x<<1|1
#define pb(a) push_back(a)
#define fp(i,a,b) for(re int i=a;i<=b;i++)
#define fq(i,a,b) for(re int i=a;i>=b;i--)
using namespace std;
const int N=5e5+100;
struct dat
{
int l,r;
il bool operator < (const dat &o) const
{
if(r==o.r) return l<o.l;
return r<o.r;
}
}a[N];
int n,m,k,tot,cha[N],in[N],mx,p=1,ans,now,t[N<<2],tag[N<<2],f[N];
il int gi()
{
re int x=0,t=1;
re char ch=getchar();
while(ch!='-'&&(ch<'0'||ch>'9')) ch=getchar();
if(ch=='-') t=-1,ch=getchar();
while(ch>='0'&&ch<='9') x=x*10+ch-48,ch=getchar();
return x*t;
}
il void upd(re int x){t[x]=max(t[ls],t[rs]);}
il void cover(re int x,re int w){t[x]+=w;tag[x]+=w;}
il void Pushdown(re int x){cover(ls,tag[x]);cover(rs,tag[x]);tag[x]=0;}
il void Modify(re int x,re int l,re int r,re int pos,re int w)
{
if(l==r) {t[x]=w;return;}
re int mid=l+r>>1;
if(tag[x]) Pushdown(x);
if(pos<=mid) Modify(ls,l,mid,pos,w);
else Modify(rs,mid+1,r,pos,w);
upd(x);
}
il void Modify(re int x,re int l,re int r,re int ql,re int qr,re int w)
{
if(ql<=l&&r<=qr) {cover(x,w);return;}
re int mid=l+r>>1;
if(tag[x]) Pushdown(x);
if(ql<=mid) Modify(ls,l,mid,ql,qr,w);
if(qr>mid) Modify(rs,mid+1,r,ql,qr,w);
upd(x);
}
il int Query(re int x,re int l,re int r,re int ql,re int qr)
{
if(ql<=l&&r<=qr) return t[x];
re int mid=l+r>>1;
if(tag[x]) Pushdown(x);
if(qr<=mid) return Query(ls,l,mid,ql,qr);
if(ql>mid) return Query(rs,mid+1,r,ql,qr);
return max(Query(ls,l,mid,ql,qr),Query(rs,mid+1,r,ql,qr));
}
int main()
{
freopen("bird.in","r",stdin);
freopen("bird.out","w",stdout);
n=gi();k=gi();
fp(i,1,n)
{
re int l=max(0,gi()),r=gi();
if(r<0) continue;++l;++r;
a[++tot]=(dat){l,r};
++cha[l];++in[l];--cha[r+1];mx=max(mx,r+1);
}
sort(a+1,a+1+tot);
fp(i,1,mx) cha[i]+=cha[i-1];
fp(i,1,mx)
{
f[i]=cha[i]+Query(1,0,mx,max(0,i-2*k),max(0,i-k));
ans=max(ans,f[i]);now+=in[i];
Modify(1,0,mx,i,f[i]-now);
while(p<=tot&&a[p].r==i)
{
--now;
Modify(1,0,mx,a[p].l,a[p].r,1);
++p;
}
}
printf("%d\n",ans);
fclose(stdin);
fclose(stdout);
return 0;
}