概述
牛顿迭代法是一种数值算法，可以用于求函数的零点。其思想在于把函数抽象为直线，一步步用估计逼近函数的零点。
其逼近速度非常有效，常常在十几步迭代内就能求得非常精确的结果，十分高效。
引理
考虑在如下坐标系\(xOy\)中的一条直线：
其值在\(x=x_0\)时取值为\(y_0\)。那么这条直线与\(x\)轴的交点的\(x\)坐标\(A\)为多少？
设这条直线的解析式为\(y=kx+b\)，则有
\[ y_0=kx_0+b \]
即
\[ b=y_0-kx_0 \]
令\(y=0\)，得方程
\[ kx+y_0-kx_0=0 \]
解得
\[ x=\frac{kx_0-y_0}{k} \]
即
\[ x=x_0-\frac{y_0}{k} \]
牛顿迭代法
我们正式开始使用牛顿迭代法求函数\(f(x)\)的零点。
问题：试求\(\sqrt{2}\)的近似值。
原命题等价于求函数\(f(x)=x^2-2\)的零点。
第一步：猜测初始值
首先我们随便猜测一个值。不妨设为\(x=4\)吧。
第二步：迭代
过\((x,f(x))\)点作\(f(x)\)的切线，得到：
根据导数的几何意义，这条直线的斜率为\(f'(x)\)，则根据我们前面得到的结论，这个函数与\(x\)轴的交点的\(x\)坐标为
\[ x'=x-\frac{f(x)}{f'(x)} \]
根据最理想的估计，如果导数不变的话，零点应该就在那个位置。那么我们令\(x=x'\)，这称为一次迭代。