Matlab之数据回归分析 --- 最小二乘估计曲线拟合

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1、最小二乘估计的概念

“二乘”意即平方的含义，所以这里也可以称为“最小平方估计”拟合，那么也就有了谁的平方的问题了，直观上理解就是测量值与统计估计值的偏差，工程上又叫残余误差。而“最小”意即所有的残余误差的平方和最小！

通过下图更直观理解，就是让所有红线分别平方，然后求和，所得的值最小！

2、Matlab直线拟合

2.1、直线拟合的数学推导

假设现有一组数据【x1，y1】【x2，y2】…【xn，yn】

设其拟合直线表达式为： $y=a+bx\tag{1}$

对应残余误差表达式为： $d_{i}~ = y_{i} - (a+bx_{i})\tag{2}$

最小二乘登场：

$D_{i}=\sum_{i=1} ^{n} d_{i}^{2} = \sum_{i=1} ^{n}(y_{i}-a-bx_{i})^{2}\tag{3}$

因为使得平方和最小，意即求导为0，那么我们就分别对该式子的系数 $a、b$求偏导可得到如下等式：

$\begin{cases} \frac {\partial D_{i}} {\partial a} = \sum\limits _{i=1}^{n}2(y_{i}-a-bx_{i})(-1) = -2(\sum\limits _{i=1} ^{n}y_{i}-na-b\sum\limits _{i=1} ^{n} x_{i}) = 0 \\ \\ \frac {\partial D_{i}} {\partial b} = \sum\limits _{i=1}^{n}2(y_{i}-a-bx_{i})(-x_{i}) = -2(\sum\limits _{i=1} ^{n}x_{i}y_{i}-a\sum\limits _{i=1}^{n} x_{i}-b\sum\limits _{i=1} ^{n} x_{i}^2) = 0\tag{4} \end{cases}$

整理可得，

$\begin{cases} (\sum \limits_{i=1} ^{n}y_{i}-na-b\sum\limits _{i=1} ^{n} x_{i}) = 0 \\ \\ \sum\limits _{i=1} ^{n}x_{i}y_{i}-a\sum\limits _{i=1}^{n} x_{i}-b\sum\limits _{i=1} ^{n} x_{i}^2) = 0 \end{cases}\Longrightarrow \begin{cases} a=\overline{y}-b\overline{x} \\ \\ b=\frac{\overline{xy}-\overline{x}\overline{y}}{\overline{x^2}-(\overline{x})^2} \end{cases}\tag{5}$

2.2、Matlab代码

clc;
clear;

%录入X轴数据
for a = 1:30 
    x(a) = a-1;
end
%录入Y轴数据
y=[1,2,3,8,6,9,5,4,8,5,9,19,16,12,15,24,22,36,40,40,32,32,36,39,52,52,56,57,62,69];

figure;
plot(x,y,'.');%画点
hold on
b = ( mean(x*y(:)) - mean(x(:)).*mean(y(:)) ) / (mean(x*x(:))-mean(x(:))^2 );
a = mean(y(:)) - b*mean(x(:));
y1 = a+b*x;
plot(x,y1);

2.3、绘制效果

3、多项式曲线拟合

3.1、曲线拟合的数学推导

同时，假设有一组数据【x1，y1】【x2，y2】…【xn，yn】

设拟合多项式表达式为：
$y=a+a_{1}x+...+a_{k}x^{k}\tag{1}$

残余误差和表达式为：

$D^{2}=\sum_{i=1}^{n}[y_{i}-(a_{0}+a_{1}x_{i}+...+a_{k}+x_{i}^{k})]^{2}\tag{2}$

为求平方和最小，我们只需对系数 $a_{0}~a_{k}$挨个求偏导，即可得到：

$\begin{cases} -2\sum\limits _{i=1}^{n}[y_{i}-(a_{0}+a_{1}x_{i}+...+a_{k}x_{i}^{k})] = 0 \\ -2\sum\limits _{i=1}^{n}[y_{i}-(a_{0}+a_{1}x_{i}+...+a_{k}x_{i}^{k})]x_{i} = 0\\ ......\\ -2\sum\limits _{i=1}^{n}[y_{i}-(a_{0}+a_{1}x_{i}+...+a_{k}x_{i}^{k})]x_{i}^{k} = 0 \end{cases}\tag{3}$

上述等式继续化简可得：

$\begin{cases} a_{0}n+a_{1}\sum\limits_{i=1}^{n}x_{i}+...+a_{k}\sum\limits _{i=1}^{n}x_{i}^{k}=\sum\limits _{i=1}^{n}x_{i}^{0}y_{i}\\ a_{0}\sum\limits_{i=1}^{n}x_{i}+a_{1}\sum\limits_{i=1}^{n}x_{i}^{2}+...+a_{k}\sum\limits_{i=1}^{n}x_{i}^{k+1}=\sum\limits_{i=1}^{n}x_{i}^{1}y_{i}\\ ...\\ a_{0}\sum\limits_{i=1}^{n}x_{i}^{k}+a_{1}\sum\limits_{i=1}^{n}x_{i}^{k+1}+...+a_{k}\sum\limits_{i=1}^{n}x_{i}^{2k}=\sum\limits_{i=1}^{n}x_{i}^{k}y_{i} \end{cases}\tag{4}$

将这些等式表达成矩阵的形式，可以得到如下矩阵:

$\begin{bmatrix} n & \sum\limits_{i=1}^{n}x_{i} & \cdots & \sum\limits_{i=1}^{n}x_{i}^{k} \\ \sum\limits_{i=1}^{n}x_{i} & \sum\limits_{i=1}^{n}x_{i}^{2} & \cdots & \sum\limits_{i=1}^{n}x_{i}^{k+1} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \sum\limits_{i=1}^{n}x_{k} & \sum\limits_{i=1}^{n}x_{i}^{k+1} & \cdots & \sum\limits_{i=1}^{n}x_{i}^{2k} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_{0}\\a_{1}\\ \vdots \\ a_{k} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \sum\limits_{i=1}^{n}y_{i} \\ \sum\limits_{i=1}^{n}x_{i}y_{i} \\ \vdots \\ \sum\limits_{i=1}^{n}x_{i}^{k}y_{i} \end{bmatrix} \tag{5}$

然后接着将这个范德蒙德行列式化简，可以得到：
$\begin{bmatrix} 1 & x_{1} & \cdots & x_{1}^{k} \\ 1 & x_{2} & \cdots &x_{2}^{k} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & x_{n} & \cdots & x_{n}^{k} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_{0}\\a_{1}\\ \vdots \\ a_{k} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} y_{1}\\y_{2}\\ \vdots \\ y_{n} \end{bmatrix} \tag{6}$

接着我们的分析 $XA=Y$，那么 $A=X^{-1}Y$。由于这里需求 $X$的逆矩阵，求逆矩阵的前提是满秩，但是这里可能没有办法满足这一点，所以我们利用广义矩阵可以得到， $A=(X^{T}*X)^{-1}*X^{T}*Y$,这样便得到了系数矩阵 $A$，我们也就进一步得到了拟合曲线。

3.2、Matlab代码

clc;
clear;
%录入X轴数据
for a = 1:30 
    x(a) = a-1;
end
%录入Y轴数据
y=[1,2,3,6,6,7,8,9,8,10,9,19,16,14,15,24,28,36,40,40,42,41,37,39,52,52,56,57,62,69];

figure
plot(x,y,'.');%画点
hold on

k=5;%阶数  阶数可以在1-5之间更改看效果，记得每次更改了之后clear workspace然后在运行

%X数据录入
for a = 0:k
    for i = 1:30
        X(i,(a+1)) = x(i).^(a);
    end
end

Y = y';
A = (X'*X)^-1*X'*Y;%求矩阵系数A
A = A';%转置矩阵方便使用

z = 0:0.1:30;


if k==5
    y1 = A(1)+A(2).*z+A(3).*z.^2+A(4).*z.^3+A(5).*z.^4+A(6).*z.^5;%最后表达式用于绘图
elseif k==4
    y1 = A(1)+A(2).*z+A(3).*z.^2+A(4).*z.^3+A(5).*z.^4;%最后表达式用于绘图
elseif k==3
    y1 = A(1)+A(2).*z+A(3).*z.^2+A(4).*z.^3;%最后表达式用于绘图
elseif k==2
    y1 = A(1)+A(2).*z+A(3).*z.^2;%最后表达式用于绘图
elseif k==1
    y1 = A(1)+A(2).*z;%最后表达式用于绘图
end

plot(z,y1);
hold off

3.3、绘制效果

k=1

k=2

k=3

k=4

k=5