（第二章）知识点：数据结构与算法

1、引入 凭借一句话获得图灵奖的Pascal之父——Nicklaus Wirth，让他获得图灵奖的这句话就是他提出的著名公式：“算法+数据结构=程序”。 2、算法 解决问题的方法（广义） （1）算法的特点： 1）有效性； 2）可行性；   对于浮点数（科学计数法），考察这样的问题：   3e18 + 3e-18   这个运算在很多计算机系统中，是不可行的。 3）有限步骤； 4）至少有一个输出； 5）稳定性（可重现性）。 解决问题的方法绝对没有唯一性（没有标准答案）；但是，解决问题的方法之间是可以进行比较，比较的是性能等方面。在讨论某种算法性能时会发现，没有任何一个算法能成为“完美”的！任何算法都有优、缺点（世界上没有单面的硬币）。 ​​​​​​​（2）衡量算法性能的指标 衡量算法性能指标有两个：1）时间复杂度；2）空间复杂度。 1）时间复杂度：问题规模和解决该问题所执行的基本指令的次数（量）的函数关系。   eg1.关于数据逆置的方法： 有一组数据，要求逆置这些数据。或者说，有数组int  arr[10]，并赋初值，要求编程实现对该数组元素的逆置。 方法1： 准备临时数组int  temp[10];从后向前地将arr数组的元素，存储到temp数组中： for(i  =  0;  i  <  10;  i++){      temp[i]  =  arr[10-i-1]; } 分析：ar[0]  ->  temp[9]           ar[1]  ->  temp[8]           ar[2]  ->  temp[7]           ar[3]  ->  temp[6]           ar[4]  ->  temp[5]           ar[5]  ->  temp[4]           ar[6]  ->  temp[3]           ar[7]  ->  temp[2]           ar[8]  ->  temp[1]           ar[9]  ->  temp[0]             ar[i]  ->  temp[10-1-i]   然后，再将逆置了的，但是存储于temp数组中的数据，再放回到arr数组： for(i  =  0;  i  <  10;  i++){      arr[i]  =  temp[i]; }   总共需要2倍的10次运算；若原数组中的数据个数是n个，那么，需要的基本操作次数是2*n次，可以写成：O(2n) （当n趋向于无穷大时，其与O(n)同阶无穷大），于是，可以说，这个算法的时间复杂度是：O(n)。 另外，这个算法需要n个元素的临时空间，因此，空间复杂度为O(n)。   方法2： 将数组中，按中轴对称的元素“对调”，也可以实现逆置： int  tmp; for(i  =  0;  i  <  10/2;  i++){      tmp  =  arr[i];      arr[i]  =  arr[10-i-1];     arr[10-i-1]  =  tmp; } 上述操作需要10/2次循环（基本操作）；若原数组中的数据个数是n个，那么，其时间复杂度是：O(n/2)；空间复杂度为O(1) （这个O(1)的意思是，辅助空间的大小，与问题规模（就是数组数据个数）无关）。 见博客：。。。。。。。。。。。。   eg2.课堂小练习：要求计算n以内的正整数之和，假设n在10万到1亿之间（不考虑int取值范围溢出问题）。 方法1; int i; int sum = 0; for(i = 0; i < n; i++)      sum += i; printf(“%d\n”, sum); 上面的程序的时间复杂度是O(n)。   方法2： printf(“%d\n”, (1+n)*n/2); 这段具有相同功能的算法，时间复杂度是O(1)。   对于时间复杂度的基本计算规则： 时间复杂度主要体现在循环的循环次数； 多重嵌套循环，时间复杂度是各层循环的循环次数之积！ 并列多个循环，时间复杂度是各个循环的循环次数之和！ 具体的说，要进行“变量跟踪”才能真正的搞清楚时间复杂度问题。   eg3. for(a = 0; a < 100; a++)      for(b = 0; b < 100; b++)          for(c = 0; c < 100; c++)                 … 很简单，时间复杂度为O(n^3)   eg4. for(a = 0; a < 100; a++)       for(b = a+1; b < 100-a; b++)               … 分析（变量跟踪）： 当a为0时，内层循环：for(b = 1; b < 100; b++)，即，99次； 当a为1时，内层循环：for(b = 1+1; b < 100-1; b++)，即，99-2次； 当a为2时，内层循环：for(b = 1+2; b < 100-2; b++)，即，99-4次； 当a为3时，内层循环：for(b = 1+3; b < 100-3; b++)，即，99-6次； … 当a为49时，内层循环：for(b = 1+49; b < 100-49; b++)，即，1次； 共50轮；即，总循环次数是：1+3+5+ … + 99=>O((n/2)^2)=>O(n^2)