【专题】欧几里得&扩展欧几里得算法

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朴素的欧几里得算法大家应该知道

$gcd(a,b)$表示a,b的最大公约数
朴素的欧几里得算法其实就是所谓的辗转相除法

• 辗转相除法
  $gcd(a,b)=gcd(b,a$ $mod$ $b)$
  证明如下：
  $设r=a$ $mod$ $b$ $=a-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor*b$,$p=gcd(a,b)$;
  则 $$a=xp,b=yp$$
  代入可得 $$r=xp-\lfloor\frac{xp}{yp}\rfloor*yp$$
  提公因式得 $$r=p(x-\lfloor\frac{xp}{yp}\rfloor*y)$$
  所以 $$p|r$$
  即 $$a,b的最大公约数也是r的约数$$
  设$p`=gcd(b,r)$
  则 $$b=x`p`,r=y`p`$$
  $$a=r+\lfloor\frac{a}{b}\rfloor*b$$
  代入得 $$a=y`p`+\lfloor\frac{a}{b}\rfloor*x`p`$$
  提公因式 $$a=p`(y`+\lfloor\frac{a}{b}\rfloor*x`)$$
  所以 $$p`|a$$
  得出结论：a,b与b,a mod b的公约数相同，所以最大公约数也相同
  得证；

Code：

int gcd(int a,int b) 
{
    if(!b) return a; 
    else return gcd(b,a%b);
}

扩展欧几里得算法

扩展欧几里得算法就是在朴素的欧几里得算法上求一组未知数(x,y)的解，满足贝祖定理:$ax+by=gcd(a,b)$

• 公式的推导
  当且仅当$a>b$
  ①$b=0$ 则$x=1,y=0$
  ②$a>b>0$
  设$ax1+by1=gcd(a,b);bx2+(a$ $mod$ $b)y2=gcd(b,a$ $mod$ $b)$
  由朴素欧几里得算法得：$gcd(a,b)=gcd(b,a$ $mod$ $b)$
  所以$ax1+by1=bx2+(a$ $mod$ $b)y2$
  即$ax1+by1=bx2+(a-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor*b)y2$
  化简得：$ax1+by1=bx2+ay2-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor*b*y2$
  由贝祖等式得$\left\{\begin{array}\\x1=y2\\{y1=x2-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor*b} \end{array}\right.$
  ##Code:

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y) 
{
    if(b==0) 
    {
        x=1;y=0;
        return a;
    }
    int r=exgcd(b,a%b,x,y);
    int z=x;
    x=y;y=z-a/b*y;
    return r;
}

扩展欧几里得应用

①解不定方程
②解线性同余方程
③求模的逆元

1.解形如ax+by=c的不定方程

用扩展欧几里得算法求出解$ax`+by`=gcd(a,b)$
再分别乘上$\frac{c}{gcd(a,b)}$
当$c$ $mod$ $gcd(a,b)\neq0$时无解

2.解形如$ax\equiv b(mod$ $m)$的线性同余方程

即

$$ax-my=b$$
$$ax+m(-y)=b$$
得出：
$$ax+my=b$$
同上解除即可。

3.求$ax\equiv1(mod$ $m)$

由上式子可得$x\equiv \frac{1}{a} (mod$ $m)$
所以 x是a的逆元
同②得：$ax+my=1$
解出x即可.