小白都能看懂的马尔可夫链详解

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1.什么是马尔可夫链

在机器学习算法中，马尔可夫链(Markov chain)是个很重要的概念。马尔可夫链（Markov chain），又称离散时间马尔可夫链（discrete-time Markov chain），因俄国数学家安德烈·马尔可夫（俄语：Андрей Андреевич Марков）得名，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程。该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关。这种特定类型的“无记忆性”称作马尔可夫性质。马尔科夫链作为实际过程的统计模型具有许多应用。
在马尔可夫链的每一步，系统根据概率分布，可以从一个状态变到另一个状态，也可以保持当前状态。状态的改变叫做转移，与不同的状态改变相关的概率叫做转移概率。随机漫步就是马尔可夫链的例子。随机漫步中每一步的状态是在图形中的点，每一步可以移动到任何一个相邻的点，在这里移动到每一个点的概率都是相同的（无论之前漫步路径是如何的）。
(来自参考文献1)

2.一个经典的马尔科夫链实例

用一句话来概括马尔科夫链的话，那就是某一时刻状态转移的概率只依赖于它的前一个状态。举个简单的例子，假如每天的天气是一个状态的话，那个今天是不是晴天只依赖于昨天的天气，而和前天的天气没有任何关系。这么说可能有些不严谨，但是这样做可以大大简化模型的复杂度，因此马尔科夫链在很多时间序列模型中得到广泛的应用，比如循环神经网络RNN，隐式马尔科夫模型HMM等。
假设状态序列为 $\cdots x_{t-2}, x_{t-1}, x_t, x_{t+1}, x_{t+2}, \cdots$，由马尔科夫链定义可知，时刻 $x_{t+1}$的状态只与 $x_t$有关，用数学公式来描述就是：
$P(x_{t+1} | \cdots, x_{t-2}, x_{t-1}, x_t) = P(x_{t+1}|x_t)$

既然某一时刻状态转移的概率只依赖前一个状态，那么只要求出系统中任意两个状态之间的转移概率，这个马尔科夫链的模型就定了。看一个具体的例子。

这个马尔科夫链是表示股市模型的，共有三种状态：牛市（Bull market）, 熊市（Bear market）和横盘（Stagnant market）。每一个状态都以一定的概率转化到下一个状态。比如，牛市以0.025的概率转化到横盘的状态。这个状态概率转化图可以以矩阵的形式表示。如果我们定义矩阵阵P某一位置P(i, j)的值为P(j|i)，即从状态i变为状态j的概率。另外定义牛市、熊市、横盘的状态分别为0、1、2，这样我们得到了马尔科夫链模型的状态转移矩阵为：

$P = \left( \begin{array}{ccc} 0.9 & 0.075 & 0.025 \\ 0.15 & 0.8 & 0.05 \\ 0.25 & 0.25 & 0.5 \end{array} \right)$
当这个状态转移矩阵P确定以后，整个股市模型就已经确定！

3.状态转移矩阵

从上面的例子不难看出来，整个马尔可夫链模型的核心是状态转移矩阵P。那这个矩阵P有一些什么有意思的地方呢？接下来再看一下。
以股市模型为例，假设初始状态为 $t_0 = [0.1, 0.2, 0.7]$，然后算之后的状态。

def markov():
    init_array = np.array([0.1, 0.2, 0.7])
    transfer_matrix = np.array([[0.9, 0.075, 0.025],
                               [0.15, 0.8, 0.05],
                               [0.25, 0.25, 0.5]])
    restmp = init_array
    for i in range(25):
        res = np.dot(restmp, transfer_matrix)
        print i, "\t", res
        restmp = res

markov()

最终输出的结果：

0 	[ 0.295   0.3425  0.3625]
1 	[ 0.4075   0.38675  0.20575]
2 	[ 0.4762  0.3914  0.1324]
3 	[ 0.52039   0.381935  0.097675]
4 	[ 0.55006   0.368996  0.080944]
5 	[ 0.5706394  0.3566873  0.0726733]
6 	[ 0.58524688  0.34631612  0.068437  ]
7 	[ 0.59577886  0.33805566  0.06616548]
8 	[ 0.60345069  0.33166931  0.06487999]
9 	[ 0.60907602  0.32681425  0.06410973]
10 	[ 0.61321799  0.32315953  0.06362248]
11 	[ 0.61627574  0.3204246   0.06329967]
12 	[ 0.61853677  0.31838527  0.06307796]
13 	[ 0.62021037  0.31686797  0.06292166]
14 	[ 0.62144995  0.31574057  0.06280949]
15 	[ 0.62236841  0.31490357  0.06272802]
16 	[ 0.62304911  0.31428249  0.0626684 ]
17 	[ 0.62355367  0.31382178  0.06262455]
18 	[ 0.62392771  0.31348008  0.06259221]
19 	[ 0.624205   0.3132267  0.0625683]
20 	[ 0.62441058  0.31303881  0.06255061]
21 	[ 0.624563    0.31289949  0.06253751]
22 	[ 0.624676   0.3127962  0.0625278]
23 	[ 0.62475978  0.31271961  0.06252061]
24 	[ 0.6248219   0.31266282  0.06251528]

从第18次开始，状态就开始收敛至 $[0.624, 0.312, 0.0625]$。最终数字上略有不同，只是计算机浮点数运算造成的罢了。

如果我们换一个初始状态 $t_0$，比如 $[0.2, 0.3. 0.5]$，继续运行上面的代码，只是将init_array变一下，最后结果为：

0 	[ 0.35  0.38  0.27]
1 	[ 0.4395   0.39775  0.16275]
2 	[ 0.4959   0.39185  0.11225]
3 	[ 0.53315   0.378735  0.088115]
4 	[ 0.558674  0.365003  0.076323]
5 	[ 0.5766378  0.3529837  0.0703785]
6 	[ 0.5895162   0.34322942  0.06725438]
7 	[ 0.59886259  0.33561085  0.06552657]
8 	[ 0.6056996   0.32978501  0.06451539]
9 	[ 0.61072624  0.32538433  0.06388944]
10 	[ 0.61443362  0.32208429  0.06348209]
11 	[ 0.61717343  0.31962047  0.0632061 ]
12 	[ 0.61920068  0.31778591  0.06301341]
13 	[ 0.62070185  0.31642213  0.06287602]
14 	[ 0.62181399  0.31540935  0.06277666]
15 	[ 0.62263816  0.31465769  0.06270415]
16 	[ 0.62324903  0.31410005  0.06265091]
17 	[ 0.62370187  0.31368645  0.06261168]
18 	[ 0.62403757  0.31337972  0.06258271]
19 	[ 0.62428645  0.31315227  0.06256128]
20 	[ 0.62447096  0.31298362  0.06254542]
21 	[ 0.62460776  0.31285857  0.06253366]
22 	[ 0.62470919  0.31276586  0.06252495]
23 	[ 0.62478439  0.31269711  0.0625185 ]
24 	[ 0.62484014  0.31264614  0.06251372]

到第18次的时候，又收敛到了 $[0.624, 0.312, 0.0625]$!
这个转移矩阵就厉害了。不管我们的初始状态是什么样子的，只要状态转移矩阵不发生变化，当 $n \to \infty$时，最终状态始终会收敛到一个固定值。

在矩阵分析，自动控制原理等过程中，经常会提到矩阵的幂次方的性质。我们也看看这个状态转移矩阵 $P$的幂次方有什么有意思的地方？废话不多说，直接上代码。

def matrixpower():
    transfer_matrix = np.array([[0.9, 0.075, 0.025],
                               [0.15, 0.8, 0.05],
                               [0.25, 0.25, 0.5]])
    restmp = transfer_matrix
    for i in range(25):
        res = np.dot(restmp, transfer_matrix)
        print i, "\t", res
        restmp = res

matrixpower()

代码运行的结果：

0 	[[ 0.8275   0.13375  0.03875]
 [ 0.2675   0.66375  0.06875]
 [ 0.3875   0.34375  0.26875]]
1 	[[ 0.7745   0.17875  0.04675]
 [ 0.3575   0.56825  0.07425]
 [ 0.4675   0.37125  0.16125]]
2 	[[ 0.73555   0.212775  0.051675]
 [ 0.42555   0.499975  0.074475]
 [ 0.51675   0.372375  0.110875]]
3 	[[ 0.70683   0.238305  0.054865]
 [ 0.47661   0.450515  0.072875]
 [ 0.54865   0.364375  0.086975]]
4 	[[ 0.685609   0.2573725  0.0570185]
 [ 0.514745   0.4143765  0.0708785]
 [ 0.570185   0.3543925  0.0754225]]
5 	[[ 0.6699086  0.2715733  0.0585181]
 [ 0.5431466  0.3878267  0.0690267]
 [ 0.585181   0.3451335  0.0696855]]
6 	[[ 0.65828326  0.28213131  0.05958543]
 [ 0.56426262  0.36825403  0.06748335]
 [ 0.5958543   0.33741675  0.06672895]]
7 	[[ 0.64967099  0.28997265  0.06035636]
 [ 0.5799453   0.35379376  0.06626094]
 [ 0.60356362  0.33130471  0.06513167]]
8 	[[ 0.64328888  0.29579253  0.06091859]
 [ 0.59158507  0.34309614  0.06531879]
 [ 0.60918588  0.32659396  0.06422016]]
9 	[[ 0.63855852  0.30011034  0.06133114]
 [ 0.60022068  0.33517549  0.06460383]
 [ 0.61331143  0.32301915  0.06366943]]
10 	[[ 0.635052    0.30331295  0.06163505]
 [ 0.60662589  0.3293079   0.06406621]
 [ 0.61635051  0.32033103  0.06331846]]
11 	[[ 0.63245251  0.30568802  0.06185947]
 [ 0.61137604  0.32495981  0.06366415]
 [ 0.61859473  0.31832073  0.06308454]]
12 	[[ 0.63052533  0.30744922  0.06202545]
 [ 0.61489845  0.32173709  0.06336446]
 [ 0.6202545   0.31682232  0.06292318]]
13 	[[ 0.62909654  0.30875514  0.06214832]
 [ 0.61751028  0.31934817  0.06314155]
 [ 0.62148319  0.31570774  0.06280907]]
14 	[[ 0.62803724  0.30972343  0.06223933]
 [ 0.61944687  0.3175772   0.06297594]
 [ 0.6223933   0.3148797   0.062727  ]]
15 	[[ 0.62725186  0.31044137  0.06230677]
 [ 0.62088274  0.31626426  0.062853  ]
 [ 0.62306768  0.31426501  0.06266732]]
16 	[[ 0.62666957  0.31097368  0.06235675]
 [ 0.62194736  0.31529086  0.06276178]
 [ 0.62356749  0.31380891  0.0626236 ]]
17 	[[ 0.62623785  0.31136835  0.0623938 ]
 [ 0.6227367   0.31456919  0.06269412]
 [ 0.62393798  0.31347059  0.06259143]]
18 	[[ 0.62591777  0.31166097  0.06242126]
 [ 0.62332193  0.31403413  0.06264394]
 [ 0.62421263  0.31321968  0.0625677 ]]
19 	[[ 0.62568045  0.31187792  0.06244162]
 [ 0.62375584  0.31363743  0.06260672]
 [ 0.62441624  0.31303361  0.06255015]]
20 	[[ 0.6255045   0.31203878  0.06245672]
 [ 0.62407756  0.31334332  0.06257913]
 [ 0.62456719  0.31289565  0.06253716]]
21 	[[ 0.62537405  0.31215804  0.06246791]
 [ 0.62431608  0.31312525  0.06255867]
 [ 0.62467911  0.31279335  0.06252754]]
22 	[[ 0.62527733  0.31224646  0.06247621]
 [ 0.62449293  0.31296357  0.0625435 ]
 [ 0.62476209  0.3127175   0.06252042]]
23 	[[ 0.62520562  0.31231202  0.06248236]
 [ 0.62462404  0.3128437   0.06253225]
 [ 0.62482361  0.31266126  0.06251514]]
24 	[[ 0.62515245  0.31236063  0.06248692]
 [ 0.62472126  0.31275483  0.06252391]
 [ 0.62486922  0.31261956  0.06251122]]

从第20次开始，结果开始收敛，并且每一行都为 $[0.625, 0.312, 0.0625]$!

4.马尔可夫链细致平稳条件

首先，马尔科夫链要能收敛，需要满足以下条件：
1.可能的状态数是有限的。
2.状态间的转移概率需要固定不变。
3.从任意状态能够转变到任意状态。
4.不能是简单的循环，例如全是从x到y再从y到x。

以上是马尔可夫链收敛的必要条件。

假设有一个概率的单纯形向量 $v_0$，例如我们前面的例子
$[0.2, 0.3. 0.5]$
有一个概率转移矩阵 $P$，例如我们前面的例子：
$P = \left( \begin{array}{ccc} 0.9 & 0.075 & 0.025 \\ 0.15 & 0.8 & 0.05 \\ 0.25 & 0.25 & 0.5 \end{array} \right)$
其中， $v_0$每个元素的取值范围为[0,1]，并且所有元素的和为1。而 $P$的每一行也是个概率单纯形向量。由前面的例子我们不难看出，当 $v_0$与 $P$的n次幂相乘以后，发现得到的向量都会收敛到一个稳定值，而且此稳定值与初始向量 $v_0$无关！
那么所有的转移矩阵 $P$都有这种现象嘛？或者说满足什么样的条件的转移矩阵 $P$会有这种现象？

细致平衡条件（Detailed Balance Condition）：给定一个马尔科夫链，分布 $\pi$和概率转移矩阵P，如果下面等式成立:
$\pi_i P_{ij} = \pi_j P_{ji}$
则此马尔科夫链具有一个平稳分布（Stationary Distribution)。

证明过程比较简单：
$\sum_{i=1}^{\infty} \pi(i) P(i,j) = \sum_{i=1}^{\infty} \pi(j) P(j,i) = \pi(j) \sum_{i=1}^{\infty} P(j, i) = \pi(j)$

上式取 $j \to \infty$，就可以得到矩阵表达式：
$\pi P = \pi$

5.马尔可夫链收敛性质

如果一个非周期的马尔可夫链收敛，有状态转移矩阵P，并且任何两个状态都是连通的，那么 $lim_{n \to \infty} P_{ij} ^ n$为一定值，且与i无关。
1.
$lim_{n \to \infty} P_{ij} ^ n = \pi (j)$

$lim_{n \to \infty} P ^ n = \left( \begin{array}{ccc} \pi(1) & \pi(2) & \cdots & \pi(j) & \cdots \\ \pi(1) & \pi(2) & \cdots & \pi(j) & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \pi(1) & \pi(2) & \cdots & \pi(j) & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \end{array} \right)$

$\pi$是方程 $\pi P = \pi$的唯一非负解，其中：
$\pi(j) = [\pi(1), \pi(2), \cdots, \pi(j), \cdots] \sum_{i=0}^{\infty} \pi(i) = 1$

6.应用

马尔可夫链在实际中有非常广泛的应用。例如奠定互联网基础的PageRank算法，就是由马尔可夫链定义的。如果 $N$是已知网页的数量，一个页面 $i$有 $k_i$个链接到这个页面，那么它到链接页面的转换概率为 $\frac{\alpha}{k_i} + \frac{1 - \alpha}{N}$，到未链接页面的概率为 $\frac{1 - \alpha}{N}$，参数 $\alpha$的取值大约是0.85。
另外像语音识别中的HMM隐马尔可夫模型，也在实际中使用非常多，并且在DNN问世之前一直都是语音识别领域中最主流的方法。

参考文献：
1.https://zh.wikipedia.org/wiki/马尔可夫链