旋转矩阵公式推导

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　　1.在二维平面中：如下图所示，在$xoy$平面中有一向量${op}⃗=(x,y)^T$，旋转$ϕ$角后变为向量${op⃗}'=(x',y')^T$。
　　

　　据图可得： $x=|{op}⃗|cosθ；y=|{op}⃗| sinθ$，经旋转 $ϕ$角后有:
　　 $x'=|{op}⃗|cos(θ+ϕ)=|{op}⃗|(cos⁡θcos⁡ϕ-sin⁡θsin⁡ϕ)=xcos⁡ϕ-ysin⁡ϕ$
　　 $y'=|{op}⃗|sin(θ+ϕ)=|{op}⃗|(sin⁡θ cos⁡ϕ+cos⁡θsin⁡ϕ)=xsin⁡ϕ+ycos⁡ϕ；$
写成矩阵形式：
　　 $( \begin{matrix} x' \\y' \end{matrix}) = (\begin{matrix}cos⁡ϕ&-sin⁡ϕ\\ sin⁡ϕ&cos⁡ϕ\end{matrix}) ( \begin{matrix} x \\y \end{matrix})$
　　2.在三维空间中：如下图所示，若以坐标系的三个坐标轴X、Y、Z分别作为旋转轴，则点实际上只在垂直坐标轴的平面上作二维旋转。

　　例： ${op}⃗$绕X轴旋转 $ϕ$角，有：
旋转前：
旋转后：
写成矩阵形式：
则绕X轴旋ϕ角的旋转矩阵为： $R_x(ϕ)=（\begin{matrix}1&0&0 \\0&cos⁡ϕ&sin⁡ϕ\\ 0&-sin⁡ϕ&cos⁡ϕ\end{matrix}）$
同理可得绕X、Y、Z轴旋转的不同角度的旋转矩阵（方向余弦矩阵）分别为：

　　最后，若 ${op}⃗$绕某一定轴旋转，从欧拉定律中可知，绕着固定轴做一个角值的旋转，可以被视为分别以坐标系的三个坐标轴X、Y、Z作为旋转轴的旋转的叠加。