斐波那契数列三重循环求和

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已知斐波那契数列$F(n)$

$$F(n) = \begin{cases} 1 & \text{n=1,2} \\ F(n-1)+F(n-2)& \text{n>2} \end{cases}$$
求 $$f(n) =\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^i\sum_{k=1}^jF(k) \tag{1}$$
其实一看到这个题目，很显然想到矩阵快速幂，那么我们就根据这个思路往下想，那么我们写出 $f(n+1)$
$$f(n+1)=f(n)+\sum_{j=1}^{n+1}\sum_{k=1}^jF(k) \tag{2}$$
我们令 $g(n+1)=\sum_{j=1}^{n+1}\sum_{k=1}^jF(k)$,那么写出 $g(n+1)$的递推式：
$$g(n+1)=g(n)+\sum_{k=1}^{n+1}F(k) \tag{3}$$
我们令 $s(n+1)=\sum_{k=1}^{n+1}F(k)$,那么写出 $s(n+1)$的递推式：
$$s(n+1)=s(n)+F(n+1)\tag{4}$$
所以，将式 $(4)$带入 $(3)$得到：
$$g(n+1)=g(n)+s(n)+F(n+1)$$
一步步回代到 $(2)$，最终 $f(n+1)$ 的递推式为：
$$f(n+1)=f(n)+g(n)+s(n)+F(n+1)$$
那么就有：
$$\{f(n),g(n),s(n),F(n+1),F(n)\}*A=\{f(n+1),g(n+1),s(n+1),F(n+2),F(n+1)\}\tag{5}$$
其中 $A$ 为 $5*5$ 的矩阵，那么矩阵 $A$ 如下：
$$\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end{matrix}$$
将式 $5$ 变为下述式子：
$$\{f(1),g(1),s(1),F(2),F(1)\}*A^{n-1}=\{f(n+1),g(n+1),s(n+1),F(n+2),F(n+1)\}$$
那么最终的 $$f(n+1)=tmp[0][0]+tmp[1][0]+tmp[2][0]+tmp[3][0]+tmp[4][0]$$
其中 $tmp$ 为 矩阵 $A^{n-1}$ 计算后的结果。
代码如下：

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const LL MOD = 1e9+7;
struct Matrix
{
    LL mat[5][5];
};
Matrix Multi(Matrix A, Matrix B)
{
    Matrix C;
    for(int i=0; i<5; i++)
    {
        for(int j=0; j<5; j++)
        {
            C.mat[i][j] = 0;
            for(int k=0; k<5; k++)
            {
                C.mat[i][j] = (C.mat[i][j]+A.mat[i][k]*B.mat[k][j]%MOD)%MOD;
            }
        }
    }
    return C;
}
Matrix Pow(Matrix A, LL b)
{
    Matrix ans;
    memset(ans.mat, 0, sizeof ans.mat);
    for(int i=0; i<5; i++) ans.mat[i][i] = 1;
    while(b)
    {
        if(b&1) ans=Multi(ans, A);
        b>>=1;
        A = Multi(A, A);
    }
    return ans;
}
int main()
{
    //freopen("data.in","r",stdin);
    //freopen("data.out","w",stdout);
    int T; cin>>T;
    while(T--)
    {
        LL n; cin>>n;
        Matrix tmp;
        memset(tmp.mat, 0, sizeof tmp.mat);
        tmp.mat[0][0] = tmp.mat[1][0] = tmp.mat[2][0] = tmp.mat[3][0] = 1;
        tmp.mat[1][1] = tmp.mat[2][1] = tmp.mat[3][1] =  1;
        tmp.mat[2][2] = tmp.mat[3][2] = 1;
        tmp.mat[3][3] = tmp.mat[4][3] = 1;
        tmp.mat[3][4] = 1;
        tmp = Pow(tmp, n-1);
        LL ans=tmp.mat[0][0]+tmp.mat[1][0]+tmp.mat[2][0]+tmp.mat[3][0]+tmp.mat[4][0];
        ans = (ans%MOD+MOD)%MOD;
        cout<<ans<<endl;
    }
    return 0;
}