学习二叉树（1）

1、二叉树介绍

二叉树是指每个节点最多有两个子树的的树形结构（通俗来说就是一个父节点顶多有两个字节点），它可以有以下几种形状。

2、二叉树的特性介绍及简单证明

（1） 二叉树第i层上的结点数目最多为

$$2^{i-1}(i≥0)$$
（2） 深度为k的二叉树最多的结点数为有 $$2^{k}-1(k≥0)$$
一个满二叉树就是符合这个条件的，第一层的节点为1，第二层的节点数为2，第三层的节点数为4，第四层的节点数为8，由此可以推断：
$$2^0+2^1+2^2+2^3+...+2^{k-1}=2^{k}-1(k≥0)$$
（3）根据第二个性质一个节点总数为n的二叉树的高度至少为 $$log_2(n+1)$$
推理如下：
$$由2^{k}-1(k≥0) =n得：$$
二叉树深度至少为 $$k=log_2(n+1)$$
注：很多资料都会认为深度的值就是高度值，至少有些书籍都是这么写的，还有有些书籍对深度与高度是否是以0开始还是1开始没有统一。这里就不再纠结，只要知道两者概念上明显是不同的，一个是从根节点到叶子节点至上而下数，一个是叶子节点到根节点至下而上数。我们就以1为初始值吧，具体请看下文中的图的中deepth与height

（4）在任意的二叉树中，若末端的节点个数为n0，度为2 的节点数为n2，则

$$n_0=n_2+1$$
我们知道二叉树最大的度为2，也就是二叉树度数不大于，那么总的节点数从度的角度出发，总结点数为n，0度节点的个数为n0，一度节点个数为n1，2度节点的个数为n2（根节点度为2也算是2度节点）。则
$$n=n_0+n_1+n_2. .....公式1$$
另一方面从节点孩子个数的角度出发，0度节点的孩子为0（n0=0）,1度节点的孩子数为n1，2度节点的孩子数为n2*2，其中根节点不是任何节点的孩子（需要加1）。则
$$n=n_1+2*n_2+1. .....公式2$$
根据公式1与公式2即可得：
$$n_0=n_2+1$$
下面根据具体的图简单验证（深度与高度初始值都是1）：

根据图得到以下信息，可以加以验证公式是成立的

3、特殊的二叉树

（1）满二叉树

概念：每个结点的度都为2的二叉树，称为满二叉树
特点：满足二叉树性质2，符合结点数目最大的情况。

（2）完全二叉树
概念：

• 二叉树中只有最下面两层的节点度可以小于2
• 其余上面的层结点度必须都为2
• 且满足最下一层的叶节点集中在左侧的若干位置

特点：

• 一颗满二叉树肯定是一颗完全二叉树，一颗完全二叉树不一定是满二叉树。
• 叶子节点只能在最下两层出现且最下面一层的叶子节点都在左侧。

若删除点6结点就不再是完全二叉树

（3）二叉查找树
概念：二叉查找树又称为二叉搜索树，是一种常用的搜索树，是指将值以某种顺序排列节点最终构成一颗有序的二叉树，一般都是：一个节点的子树中左节点的值都会小于等于其根节点的值，右节点的值都会大于等于其根节点的值
用公式表示就是，若节点A的值为key[A]，节点B是节点A的左子树中一个节点，则key[A]≥key[B],若节点C是节点A右子树中的一个节点，则key[A]≤key[C]
特点：

• 某根节点左子树存在的话，则所有节点都会的值都会小于它的根节点的值
• 某根节点右子树存在的话，则所有节点都会的值都会大于它的根节点的值
• 任意的节点的左右子树都为二叉查找树，都满足条件
• 没有键值相等的节点