[2018.10.11 T1] 锻造

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锻造

题目背景

勇者虽然武力值很高，但在经历了多次战斗后，发现怪物越来越难打，于是开始思考是不是自己平时锻炼没到位，于是苦练一个月后发现……自己连一个史莱姆都打不过了。
勇者的精灵路由器告诉勇者其实是他自己的武器不好，并把他指引到了锻造厂。

题目描述

“欢迎啊，老朋友。”
一阵寒暄过后，厂长带他们参观了厂子四周，并给他们讲锻造的流程。
“我们这里的武器分成若干的等级，等级越高武器就越厉害，并且对每一等级的武器都有两种属性值 $b$ 和 $c$ ，但是我们初始只能花 $a$ 个金币来生产 $1$ 把 $0$ 级剑……”
“所以你们厂子怎么这么垃圾啊，不能一下子就造出来 $999$ 级的武器吗？”勇者不耐烦的打断了厂长的话。
“别着急，还没开始讲锻造呢……那我们举例你手中有一把 $x$ 级武器和一把 $y$ 级武器 $(y = max(x − 1, 0))$ ，我们令锻造附加值 $k = min(c_x, b_y)$ ，则
你有 $\frac{k}{c_x}$ 的概率将两把武器融合成一把 $x + 1$ 级的武器。”
“……但是，锻造不是一帆风顺的，你同样有 $1 −\frac{k}{c_x}$ 的概率将两把武器融合成一把 $max(x − 1, 0)$ 级的武器……”
勇者听完后暗暗思忖，他知道厂长一定又想借此机会坑骗他的零花钱，于是求助这个村最聪明的智者——你，来告诉他，想要强化出一把 $n$ 级的武器，其期望花费为多少？
由于勇者不精通高精度小数，所以你只需要将答案对 $998244353(7 ×17 × 2^{23} + 1$ ，一个质数 ) 取模即可。

格式

输入格式

第一行两个整数 $n, a$ ，含义如题所示。
为了避免输入量过大，第二行五个整数 $b_x, b_y, c_x, c_y, p$ ，按照下列代码
来生成 $b$ 和 $c$ 数组。

b[0]=by+1;c[0]=cy+1;
for(int i=1;i<n;i++){
b[i]=((long long)b[i-1]*bx+by)%p+1;
c[i]=((long long)c[i-1]*cx+cy)%p+1;
}

输出格式

输出一行一个整数，表示期望花费。

样例

样例 1 输入

0 6432
4602677 3944535 2618884 6368297 9477531

样例 1 输出

6432

样例 2 输入

1 3639650
6136976 5520115 2835750 9072363 9302097

样例 2 输出

150643649

样例 3 输入

10 2
2 33 6 66 2333333

样例 3 输出

976750710
3

样例 4 输入

200 5708788
0 0 0 0 1

样例 4 输出

696441597

数据范围

对于特殊性质处标示为“有”的数据满足 $p = 1$ 。
对于 $100\%$ 的数据， $0 ≤ a ≤ 10^7, 0 ≤ b_x, b_y, c_x, c_y < p < 10^7, 0 ≤ n ≤10^7$

题解

乍一看以为 $p=1$ 的时候成功率 $100\%$ ，感觉 $60$ 分稳了，然而定睛一看：特么 $dp[1]$ 怎么算？？？

还是只能老老实实推期望，先画个图：

设 $f[i]$ 为有了一把 $i$ 级剑，要得到一把 $1$ 级剑的期望花费，从 $0$ 级升到 $1$ 级的概率为 $p$ ，根据上图，可以列出方程组如下：
$\left\{ \begin{aligned} &f[1]=0\\ &f[0]=(1-p)\times f[0]+p\times f[1] \end{aligned} \right.$

解得 $f[0]=a\times \frac{1-p}{p}$ ，算出 $dp[1]=f[0]+a=\frac{a}{p}$ 。

现在我们有了 $60$ 分，考虑如何递推下去，当我们融合一把 $i-1$ 和 $i-2$ 级的剑时，如果失败了，会得到一把 $i-2$ 的剑，所以对于一次融合操作，失败时消耗的实际上是一把 $i-1$ 级的剑，又因为我们的期望融合次数为 $\frac{1}{p}$ ，最终可以得到锻造一把 $i$ 级剑的期望花费的递推式：
$dp[i]=dp[i-1]\times \frac{1}{p}+dp[i-2]$

最后 $O(n)$ 递推得到一组询问的解，完结撒花。

代码

#include<cstdio>
#define min(a,b) (a<b?a:b)
const int M=1e7+5,mod=998244353;
int dp[M],b[M],c[M],inv[M],n,a,bx,by,cx,cy,p,i;
void in(){scanf("%d%d%d%d%d%d%d",&n,&a,&bx,&by,&cx,&cy,&p);}
void ac()
{
	for(inv[1]=1,i=2;i<=1e7;++i)inv[i]=1ll*(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
	for(b[0]=by+1,c[0]=cy+1,i=1;i<=n;++i)b[i]=(1ll*b[i-1]*bx+by)%p+1,c[i]=(1ll*c[i-1]*cx+cy)%p+1;
	for(dp[0]=a,dp[1]=(a+1ll*a*inv[min(b[0],c[0])]%mod*c[0]%mod)%mod,i=2;i<=n;++i)dp[i]=(1ll*dp[i-1]*inv[min(c[i-1],b[i-2])]%mod*c[i-1]%mod+dp[i-2])%mod;
	printf("%d",dp[n]);
}
int main(){in(),ac();}

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