K Best POJ - 3111 (牛顿迭代法)

题意：有n个物品的重量和价值分别是wi和vi。从中选出k个物品使得单位重量的价值最大。

题解：先取前k个元素算出S0 =∑(vi/wi) 作为初始值，然后对每一个元素(n个)求yi=vi-s0*wi，对yi从大到小排序，取前k个元素算出S，重复上面的运算（每次循环后把S的值赋给S0，然后新一轮循环时S有通过S0计算出来），直到fabs(S-S0)<=eps，满足精度要求。
正确性证明：

证明其正确性，只要证明每次迭代的S都比上一次的大即可，也即迭代过程中S是单调递增的，因为给定的是有限集，故可以肯定，S必存在最大值，即该迭代过程是收敛的。下面证明单调性：

假设上轮得到的S1，则在n个元素中必存在k个元素使S1=∑(vi/wi),变形可得到∑vi-S1*∑wi=0，现对每个元素求yi=vi-S1*wi，可知必存在k个元素使∑yi=∑vi-s1*∑wi=0，所以当我们按y排序并取前k个元素作为求其∑y时，其∑y>=0，然后对和式变形即可得到S1=（（∑v-∑y）/∑w）<=（∑v/∑w）=s2，即此迭代过程是∑y是收敛的，当等号成立时，此S即为最大值。

附上代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>

using namespace std;

const int maxn=1e5+50;
const double eps=1e-8;

int n,k;

struct node{
    double val;
    int v,w;
    int id;
};
node nodes[maxn];

bool cmp(node a,node b)
{
    return a.val>b.val;
}

double get()
{
    double sumv=0,sumw=0;
    for(int i=0;i<k;i++){
        sumv+=nodes[i].v;
        sumw+=nodes[i].w;
    }
    return sumv/sumw;
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&k);
    for(int i=0;i<n;i++){
        scanf("%d%d",&nodes[i].v,&nodes[i].w);
        nodes[i].id=i+1;
    }
    double s1,s2=get();
    do{
        s1=s2;
        for(int i=0;i<n;i++){
            nodes[i].val=nodes[i].v-s1*nodes[i].w;
        }
        sort(nodes,nodes+n,cmp);
        s2=get();
    }while(fabs(s2-s1)>=eps);
    printf("%d",nodes[0].id);
    for(int i=1;i<k;i++){
        printf(" %d",nodes[i].id);
    }
    printf("\n");
    return 0;
}

K Best POJ - 3111 (牛顿迭代法)

猜你喜欢