HDU 3441 Rotation（Polya计数 + 数论）

大致题意：总共有A*A个小方格，有C种颜色。你要把着A*A个小方格拆乘K+1个部分，其中K个部分是B*B的正方形，剩下的一个单独的方格。要求着K个大正方形都连着这个单独的小方格成一个圈。现在你要用这C种颜色个小方格染色，使得每一个B*B的正方形内部要在旋转的时候本质不同，然后这个K个大正方形与中间的小方格在旋转的时候也要本质不同。问你本质不同的方案数。

这个比较显然的是一个需要用到两个Polya的题目。首先，这B*B的大正方形内部需要用一个Polya，总共有四种置换，分别对应旋转0°、90°、180°和270°。考虑每种旋转的时候的循环个数，分别是B*B个、(B*B+3)/4个、(B*B+1)/2个和(B*B+3)/4个。然后对于每一个循环个数，用C种颜色去填充，最后除以置换群数目４即可。这个就是对于特定的B，B*B方格的填充方案。我们不妨设这个填充方案是ｘ。

然后就是这Ｋ个B*B的格子，在连接中间小个子摆放的时候也要本质不同。那么这个问题，就相当于是一个包含K个珠子的项链，然后去染色也要求旋转的情况下本质不同的问题。但是这里，这个颜色数目，就恰好是我们B*B的格子的填充方案数x。有了这个转换，我们直接按照项链那么去做即可。

注意到本题的数据范围A可以到1e9，那么对应的A*A可以到1e18的级别。然后我们做的时候需要对所有的满足条件的B和K去做，那么满足A*A-1=B*B*K，相当于B*B是A*A-1的因子。但是A*A很大，即使用根号的复杂度求因子也会TLE，所以考虑把A*A-1拆成(A-1)(A+1)，然后求A-1和A+1的质因子，两个质因子再合并，之后质因子的组合就是因子。我们用dfs组合质因子，枚举出所有可能的B和K，然后求出x，再当作项链去做。当作项链的时候，也是需要枚举K个的因子，这个因子同样也可以用dfs组合质因子的方式，而且这个质因子恰好就是(A*A-1)/B/B的质因子，即在(A*A-1)的基础上，把B*B的质因子减去。最后求欧拉函数的时候也可以用这个来优化常数。时间复杂度不太好算，大概是 $\large O(\sqrt{A})$ ?其实我也不知道，反正很快，93ms跑完，具体见代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
#define mod 1000000007
#define pb push_back
#define lb lower_bound
#define ub upper_bound
#define INF 0x3f3f3f3f
#define sf(x) scanf("%d",&x)
#include <ext/pb_ds/hash_policy.hpp>
#include <ext/pb_ds/assoc_container.hpp>
#define sc(x,y,z) scanf("%d%d%d",&x,&y,&z)
#define clr(x,n) memset(x,0,sizeof(x[0])*(n+5))
#define file(x) freopen(#x".in","r",stdin),freopen(#x".out","w",stdout)

using namespace __gnu_pbds;
using namespace std;

const int N = 1e5 + 10;
const LL inv4 = 250000002;

int n,m,sz,tot,ans,ansA,p[N],phi[N],fac[20],a[20];
gp_hash_table<int,int> pri; bool isp[N];

void init()
{
    sz=0; phi[1]=1;
    for(int i=2;i<N;i++)
    {
        if (!isp[i]) p[++sz]=i,phi[i]=i-1;
        for(int j=1;j<=sz&&p[j]*i<N;j++)
        {
            int x=i*p[j]; isp[x]=1;
            if (i%p[j]==0)
            {
                phi[x]=phi[i]*p[j]%mod;
                break;
            } else phi[x]=phi[i]*(p[j]-1);
        }
    }
}

inline void getp(int x)
{
    for(int i=1;p[i]*p[i]<=x&&i<=sz;i++)
    {
        if (x%p[i]) continue;
        int tmp=0;
        while(x%p[i]==0) x/=p[i],tmp++;
        pri[p[i]]+=tmp;
    }
    if (x>1) pri[x]++;
}

inline LL qpow(LL x,LL n)
{
    LL res=1;
    x%=mod; n%=(mod-1);
    while(n)
    {
        if (n&1) res=res*x%mod;
        x=x*x%mod; n>>=1;
    }
    return res;
}

inline LL getphi(LL x)
{
    LL res=1,xx=x;
    if (x<N) return phi[x];
    for(int i=1;i<=tot&&(LL)fac[i]*fac[i]<=x;i++)
    {
        if (x%fac[i]) continue;
        res*=fac[i]-1; x/=fac[i];
        while(x%fac[i]==0)
        {
            x/=fac[i];
            res*=fac[i];
        }
        if (x<N) return res*phi[x]%mod;
    }
    if (x>1) res*=x-1;
    return res%mod;
}

void dfsA(int dep,LL fact,LL x,int c)
{
    if (x/fact<fact) return;
    if (dep>tot)
    {
        ansA=(ansA+qpow(c,x/fact)*getphi(fact)%mod)%mod;
        if (x/fact!=fact) ansA=(ansA+qpow(c,fact)*getphi(x/fact)%mod)%mod;
        return;
    }
    for(int i=0;i<=a[dep];i++)
    {
        dfsA(dep+1,fact,x,c);
        fact*=fac[dep];
    }
}

inline int calA(LL x,int c)
{
    int invx=qpow(x,mod-2);
    ansA=0; dfsA(1,1,x,c);
    return (LL)ansA*invx%mod*m%mod;
}

inline int calB(LL x)
{
    int res=qpow(m,x*x);
    res=(res+2LL*qpow(m,(x*x+3)/4)%mod)%mod;
    res=(res+qpow(m,(x*x+1)/2))%mod;
    return res*inv4%mod;
}

void dfsB(int dep,LL fact)
{
    if (fact>=n) return;
    if (dep>tot)
    {
        int res=calB(fact);
        LL K=((LL)n*n-1)/fact/fact;
        ans=(ans+calA(K,res))%mod;
        return;
    }
    int tmp=a[dep];
    for(int i=0;i<=tmp;i+=2,a[dep]-=2)
    {
        dfsB(dep+1,fact);
        fact*=fac[dep];
    }
    a[dep]=tmp;
}

int main()
{
    int T,TT=0;
    init(); sf(T);
    while(T--)
    {
        pri.clear();
        sf(n); sf(m);
        ansA=ans=tot=0;
        if (n==1)
        {
            printf("Case %d: %d\n",++TT,m);
            continue;
        }
        getp(n-1); getp(n+1);
        for(auto i:pri)
        {
            fac[++tot]=i.first;
            a[tot]=i.second;
        }
        for(int i=1;i<tot;i++)
            for(int j=i+1;j<=tot;j++)
                if (fac[i]>fac[j])
                {
                    swap(fac[i],fac[j]);
                    swap(a[i],a[j]);
                }
        dfsB(1,1);
        printf("Case %d: %d\n",++TT,ans);
    }
    return 0;
}

HDU 3441 Rotation（Polya计数 + 数论）

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