HDU5584-LCM Walk（数论，数学推导）

题目链接：HDU5584

题目意思：

你是一只青蛙，你在一个无限大的二维平面，如果你当前的位置为（x，y），那么你可以跳到（x +LCM(x，y)，y)或者（x， y + LCM(x，y))。现在给你终点（ex，ey）, 问有多少个起点可以按照这种走法走到这个点。

题目思路：

设 $x = n * k，y = m * k，gcd(x，y) = k$，也就是说 $gcd(n, m) = 1$。
那么我们可以得到 $LCM(x，y) = x * y / k = n * k * m * k / k = n * m * k$。
则 $（x，y)可以表示为（n * k ，m * k)$，他可以去 $(n * (m + 1) * k , m * k)$或者 $(n * k , (n + 1) * m * k)$。
我们发现 $gcd(n * (m + 1) * k , m * k) = gcd (n * k , (n + 1) * m * k) = k$。
因为 $gcd(n，m) = 1，gcd(n，n + 1) = 1，gcd(m，m + 1) = 1$。
那么 $gcd(n * (m + 1) , m ) = gcd (n , (n + 1) * m ) = 1$。
推到这里，我们得到启发，我们可以逆推了，假如当前我们在（x，y)，表示成 $(n * (m + 1) * k , m * k)$或者 $(n * k , (n + 1) * m * k)$，我们很容易通过x和y的大小关系，判断他是 $(n * (m + 1) * k , m * k)$还是 $(n * k , (n + 1) * m * k)$。而且我们发现青蛙运动的过程中，x，y坐标的gcd是不变的。
那么我们可以开始逆推，我们假设 $x > y$，那么就是 $(n * (m + 1) * k , m * k)$,可以走到他的点只有 $(n * k, m * k)$。
因为过程中，x，y坐标的gcd是不变的，所以我们一开始的就把他除掉，这样我们只需要关心当前 x % (y + 1) ==0,判断这个点是否还有点可以走到他。处理完，这条路径上有点的数量加上原始点本身就是答案。

代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);
    int t; cin >> t;
    for(int ca = 1; ca <= t; ca++) {
        LL x, y; 
        cin >> x >> y;
        if(x < y) swap(x, y);
        LL g = __gcd(x, y);
        x /= g; y /= g;
        LL ans = 1;
        while(x % (y + 1) ==0) {
            ans++;
            x = x / (y + 1);
            if(x < y) swap(x, y);
        }
        cout << "Case #" << ca << ": ";
        cout << ans << endl;
    }
    return 0;
}