逆元的引入
在做组合数取模的时候，常常要求\((a/b)\%p^{[1]}\)，然而不同于加减乘，除法取模没有\((a/b)\%p=(a\%p/b\%p)\%p\)的性质。因此，我们引入乘法逆元的概念。
若\(a* b≡1(\%p)\)，则设\(b=inv(a)\)，称\(b\)是\(a\)的逆元，满足\((a* b)\%p=(a\%p* b\%p)\%p\)。这样，除法转换为乘法，就可以了。但前提是对于两个整数\(A,B\)，要计算\(A/B\)时，\(A\)必须能够被\(B\)整除。
对于两个取模过的数，逆元是怎么输出商的？它实际上是在对给定的取模过的数\(a,b\)，找最小的两个\(A,B\)，满足\(A=x* p+a,B=y* p+b,A\%B=0\)，并返回\(A/B\)。
求逆元的几种常用方法
1. 扩展欧几里得
欧几里得定理
想必都知道\[gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)\]
解关于\(x,y\)的方程\(ax+by=gcd(a,b)\)
首先，我们先解出方程的一个特解，再通过特解推出其余的通解即可。
如何求特解
我们来看下面两个方程：
\[ax_1+by_1=gcd(a,b)\]
\[bx_2+(a\%b)y_2=gcd(b,a\%b)\]
\(\because gcd(a,b)=gcd(b,a\%b),\)
\(\therefore ax_1+by_1=bx_2+(a\%b)y_2\)
\(\because a\%b=a-floor(a/b)* b^{[2]}\)
\(\therefore ax_1+by_1=ay_2+b(x_2-floor(a/b)* y_2)\)
由等式两边的系数关系得\[x_1=y_2\]\[y_1=x_2-floor(a/b)* y_2\]
于是形成了一种递归关系，可用递归解决。
递归终止状态
我们知道在计算最大公约数的过程中，\(b\)最终会等于\(0\)，此时\(a=gcd(A,B)\)，因此，这时方程化为\(a* x=gcd(A,B)\)，解得\(x=1,y=0\)。
如何求通解
求得一组特解之后，我们发现，对于方程\(ax+by=gcd(a,b)\)，当\(x\)增加\(b/gcd\)，\(y\)减少\(a/gcd\)时，等式仍成立。
证明
\(ax\)项增加\(a* b/gcd\)，\(by\)项减少\(a* b/gcd\)。
于是可求得所有通解。
如何求最小非负整数解
此处以\(x\)为例，\(y\)同理。我们让\(x\)一直减\(B/gcd\)直至求出最小解，即让\(x\%(B/gcd)\)即可。
解关于\(x,y\)的方程\(Ax+By=C\)
我们发现，当\(C\)不能整除\(gcd(A,B)\)时，方程就不能化为\(ax+by=gcd(a,b)\)的形式，因此就无解。否则有无数解，将方程两边同时除以\(gcd(A,B)\)求解即可。
利用扩展欧几里得求乘法逆元
因为\[a* x≡1(\%p)\]
所以\[a* x+b* y=1\]
此时，若\(1\%gcd(a,b)≠1\)，即\(gcd(a,b)≠1\)，则该方程无解。
否则，设特解为\(x_0\)，最小非负整数解\(x=x_0\%m\)。当\(m<0\)时，由于计算机取模一个负数与数学上的意义不同，所以应把模数取绝对值。当\(x_0<0\)时，取模的结果是一个负数，所以把答案加上\(m\)即可。
复杂度为\(\log\)级。
Code
int egcd(int a,int b,int& x,int& y){
//x,y返回方程ax+by=gcd(a,b)的一组特解，函数返回gcd(a,b)
if(b==0){
x=1;
y=0;
return a;
//递归终止条件
}
int ans=egcd(b,a%b,x,y);
int tmp=x;
x=y;
y=tmp-a/b*y;
//x2,y2->x1,y1
return ans;
}
int cal(int a,int m){
//求a*x≡1(%m)的x（逆元）
int x,y;
int g=egcd(a,m,x,y);
//求a*x+b*y=1的特解，g=gcd(a,b)
if(g!=1)return -1;
//无解（即1%g!=0）
m=abs(m);
//负数特判
int ans=x%m;
//求最小非负整数解
if(ans<=0)ans+=m;
//负数特判
return ans;
}2. 费马小定理
当\(p\)为质数时，对\(a* x≡1(\%p)\)有\(x=a^{p-2}\%p\)。
复杂度为\(\log\)级。
Code
typedef long long D;
D qpow(D x,D y,D p){
D ans=1;
while(y){
if(y&1)ans=ans*x%p;
x=x*x%p;
y>>=1;
}
return ans;
}
D cal(D a,D p){
return qpow(a,p-2,p);
}组合数取模
由于题目中给的\(p\)一般都是质数，所以下面我们默认\(p\)为质数。
1. 错误方法
由上面的结论，我们得出\[C(n,m)=\frac{n!}{m!(n-m)!}=n!* inv(m!)* inv((n-m)!)\]
直接使用扩展欧几里得或费马小定理求逆元来实现除法取模。
此方法的错误之处在于，对\(a* x≡1(\%p),a\)有逆元的前提条件时\(a,p\)互质。当\(a,p\)不互质，即\(a\)是\(p\)的倍数时，不存在逆元，也就无法计算。
比如计算\(C(7,5)\%5\)，正确答案应该是\(\frac{7* 6}{1* 2}\%5=21\%5=1\)，但计算过程中出现了\(5\)的倍数，取模\(5\)之后就变为\(0\)，因此最后答案输出了\(0\)。
2. lucas定理
lucas定理可避免上述情况。
递归式：
设\(lucas(n,m,p)\)为\(C(n,m)\%p\)（\(p\)为质数），则
\[lucas(n,m,p)=C(n\%p,m\%p,p)* lucas(n/p,m/p,p)\]
此处的\(C(n,m,p)\)可直接通过逆元计算。
复杂度为\(\log\)级。
Code
typedef long long D;
D fac[100001];
void preparefac(D n,D p){
fac[0]=1;
for(D i=1;i<=n;i++){
fac[i]=i*fac[i-1]%p;
}
}
D qpow(D x,D y,D p){
D ans=1;
while(y>0){
if(y%2)ans=ans*x%p;
x=x*x%p;
y/=2;
}
return ans;
}
D cal(D x,D y){
return qpow(x,y-2,y);
}
D Div(D x,D y,D p){
return x*cal(y,p)%p;
}
D C_(D n,D m,D p){
if(m>n)return 0;
return Div(Div(fac[n],fac[m],p),fac[n-m],p);
}
D C(D n,D m,D p){
if(!m)return 1;
return C_(n%p,m%p,p)*C(n/p,m/p,p)%p;
}