Machine Learning：Gradient Descent（梯度下降法）

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Machine Learning：Gradient Descent（梯度下降法）

梯度下降法是机器学习中最常用的几种优化方法之一，目的为了找到合适的参数向量$\theta$，使得代价函数$J(\theta)$最小，梯度下降法的用途很广，本文中介绍使用梯度下降法来最小化线性回归问题中的$J(\theta)$。

基本概念：

输入(Input)

输入为一个模型的训练样本，通常为对于数据集提取的特征，也可以为采集的原始数据，通常使用$x_{i}^{(i)}$表示。上标为样本序号，表示为第几组样本。下标为样本中的特征序号，表示为当前样本中的第几个特征。$x_{i}^{(i)}$又称为训练集。

输出(Output)

输出为一个模型的预测结果，通常使用$y^{(i)}$表示。

假设函数(Hypothesis Function)

假设函数是在问题中根据实际数据去得到的目标函数，以便去预测之后的新数据。通常使用$h_{\theta}$表示，此时$h_{\theta}=\theta_{0}+\theta_{1}x_{1}+\theta_{2}x_{2}+...$，为了讨论方便本文中$h_{\theta}(x)=\theta_{0}+\theta_{1}x_{1}$。

代价函数(Cost Function)

代价函数定义为假设函数和实际数据之间的误差，本文中使用平方代价函数(Square Error)，定义为

$$J(\theta)= \frac{1}{2m} \sum_{i=1}^m (h_{\theta}(x^{(i)})-y^{(i)})^2$$

梯度下降法

通过上式可以看出，$J(\theta)$越小，则$h_{\theta}(x)$和原始数据的分布就越接近。为了求出$J(\theta)$的最小值，我们使用梯度下降法(目前只考虑单元线性回归，即参数为$\theta_{0}$和$\theta_{1}$ )。
梯度下降法的步骤为：
1.选取参数$\theta_{0}$和$\theta_{1}$的初值，通常情况下为随机选取，也可以将$\theta_{0}$和$\theta_{1}$置0。
2.改变$\theta_{0}$和$\theta_{1}$的值，直到$J(\theta)$达到最小值(全局或者局部极小)。
我们选取使得$J(\theta)$下降最快的方向，也就是某点梯度方向的参数值来更新$\theta_{0}$和$\theta_{1}$。更新方法为

$$\theta_{j}:= \theta_{j} - \alpha \frac{\partial}{\partial \theta_{j}} J(\theta_{0}, \theta_{1})，此时j=0,1$$
上式中的 $:=$表示赋值。
这里我们可以对于 $\theta_{0}$和 $\theta_{1}$的更新方法进一步推导 $$\begin{align} \theta_{0} &:= \theta_{0} - \alpha \frac{\partial}{\partial \theta_{0}} J(\theta_{0}, \theta_{1})\\ &:= \theta_{0} - \alpha \frac{\partial}{\partial \theta_{0}} \frac{1}{2m} \sum_{i=1}^m ((\theta_{0}+\theta_{1}x_{1}^{(i)})-y^{(i)})^2\\ &:= \theta_{0} - \frac{\alpha}{m} \sum_{i=1}^m (\theta_{0}+\theta_{1}x_{1}^{(i)}-y^{(i)})\\ \end{align}$$
同理可得
$$\begin{align} \theta_{1} &:= \theta_{1} - \alpha \frac{\partial}{\partial \theta_{1}} J(\theta_{0}, \theta_{1})\\ &:= \theta_{1} - \alpha \frac{\partial}{\partial \theta_{1}} \frac{1}{2m} \sum_{i=1}^m ((\theta_{0}+\theta_{1}x_{1}^{(i)})-y^{(i)})^2\\ &:= \theta_{1} - \frac{\alpha}{m} \sum_{i=1}^m (\theta_{0}+\theta_{1}x_{1}^{(i)}-y^{(i)})x_{1}^{(i)}\\ \end{align}$$
需要注意的是，只有在对所有参数$\theta_{j}$完成计算之后，才能进行更新。不能对于参数计算之后马上更新。也就是所有的参数需要同时更新(Simultaneous Update)。
上式中的 $\alpha$被称为学习率(Learning Rate)， $\alpha$决定了参数 $\theta_{j}$更新的步长。 $\alpha$取值过小，会导致 $J(\theta)$的收敛速度过慢， $\alpha$取值过大，则可能会导致 $J(\theta)$越过最小值点，进而发散。在实际操作过程中，通常采用动态 $\alpha$，即起步阶段 $\alpha$取值较大，接近极小值点时 $\alpha$开始减小。事实上在接近最小值点的时候，上式中的偏导数那一项也会减小，所以 $\alpha$取值固定也是可以的。
因为在更新参数的时候使用了 $m$个数据，也就是所有的训练集数据，所以上面的梯度下降法也被称为批梯度下降法(Batch Gradient Descent)。
本文主要偏向于数学公式推导，相关视频可以参考 Andrew Ng 机器学习课程，本文相关内容也源于该课程。

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