牛客网比赛212E蚂蚁开会题解

这个题目其实就是【HNOI2015开店】的主席树做法，但稍有不同十分类似。

题目地址【IN】

题意简述：

给你一棵树，有点权和边权，每次有两种操作一种询问：

修改一个点权
修改一条边权
询问所有的点到给定点 $u$ 的距离值。
一个点 $v$ 到 $u$ 的距离值为 $v$ 的点权乘以 $v\rightarrow u$ 的边权。

暴力就暴力改和统计吧，没什么好说的，也没什么部分分。

正解
~~Orz大巨佬hdxrie的讲解~~

这个题不能用动态点分治，是因为它对于点权和边权都有大量的修改，并且它每次询问的是所有的点到某个点的值，所以我们不用动态点分治。

我们这样处理边权：将其下放到一个点上，按照根节点下面到深度较深的点上。

然后我们像开店那个题一样，对于答案就是下方式子的值：

$ans=\sum\limits_{i=1}^nval[i]\times dis[i]+\sum_{i=1}^nval[i]\times dis[u]-2\times \sum_{i=1}^nval[i]\times dis[lca(i,u)]$

由于对于点的要求没有，不用主席树，所以直接如下维护：
对于 $\sum\limits_{i=1}^nval[i]\times dis[i]$ 和 $\sum_{i=1}^nval[i]\times dis[lca(i,u)]$ 我们用线段树和树链剖分来维护，对于 $dis[u]$ 我们用树状数组和深搜序来维护，对于 $\sum_{i=1}^nval[i]$ 我们开一个变量 $all$ 维护即可。

线段树：

我们维护三个， $sz[o],len[o],sum[o]$ ， $sz[o]$ 表示当前 $o$ 表示的区间的点权修改懒标记， $len[o]$ 表示当前区间的点所表示的边长之和， $sum[o]$ 表示当前区间的边长乘以点权的和。

对于修改点权，我们可以通过像点分治一样的方式，跳轻重链，跳到根节点修改，每次将变化量加到懒标记上，然后更新贡献即可，复杂度 $log^2n$
对于边的修改，我们相当于修改它的一个单点，所以单点修改即可，复杂度 $logn$ 。

树状数组：

我们就维护一个区间修改单点查询的树状数组即可，对于一条边的修改，它只会影响到它的子树内的点到根节点的距离，所以用深搜序区间修改即可。复杂度 $2logn$

全局变量 $all$ ：

这个只是表示点权之和，所以每次修改先减去之前的点权加上新的点权即可。复杂度 $O(1)$

答案查询

第一个就是线段树的根节点值 $sum[1]$ ，第二个就是 $all\times dis[u]$ 全局变量乘以单点查询的 $u$ 到根节点的值，然后就是 $lca(i,u)$ 的查询，也就是从点 $u$ 到根节点上，维护的 $sum[i]$ 的和即可，因为 $lca(i,u)$ 肯定为 $u$ 或者 $u$ 的祖先，所以直接查询到根节点的一条链上的 $sum[i]$ 的和就是答案。

对于查询 $lca(i,u)$ 的答案那一段为什么是正确的，下面简单说明一下：

因为每个 $lca(i,u)$ 到根节点的距离都会被 $lca(i,u)$ 为根的子树内的点走一次，所以这样直接加上就是答案，而不会少算或者算重。

令 $t1=sum[1],t2=all\times query(u),t3=getans(u)$ ，答案就为 $t1+t2-2\times t3$ 。

代码（~~略微有点长和丑~~）：
注意略去自环。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const int M=2e5+10;
int n,m;
ll side[M],P[M];
struct ss{
	int to,last,len;
	ss(){}
	ss(int a,int b,int c):to(a),last(b),len(c){}
}g[M<<1];
int head[M],cnt;
void add(int a,int b,int c){
	g[++cnt]=ss(b,head[a],c);head[a]=cnt;
	g[++cnt]=ss(a,head[b],c);head[b]=cnt;
}
#define lowbit(a) ((a)&(-(a)))
ll dis[M],all;
int dep[M],f[M],top[M],sze[M],son[M];
int dfn[M],tim,rf[M],sp[M];
ll tot[M];
void add(int a,ll b){
	for(;a<=n;a+=lowbit(a))dis[a]+=b;
}
void add_area(int l,int r,ll b){
	if(l>r)swap(l,r);
	add(l,b);add(r+1,-b);
}
void dfs1(int a,ll lenn){
	sze[a]=1;dfn[a]=++tim;tot[a]=P[a];
	add_area(tim,tim,lenn);
	for(int i=head[a];i;i=g[i].last){
		if(g[i].to==f[a]||g[i].to==a) continue;
		f[g[i].to]=a;
		dep[g[i].to]=dep[a]+1;
		dfs1(g[i].to,lenn+g[i].len);
		tot[a]+=tot[g[i].to];
		sze[a]+=sze[g[i].to];
		if(!son[a]||sze[son[a]]<sze[g[i].to])son[a]=g[i].to;
	}
}
void dfs2(int a,int b){
	top[a]=b;sp[a]=++tim;rf[tim]=a;
	if(!son[a]) return;
	dfs2(son[a],b);
	for(int i=head[a];i;i=g[i].last){
		if(g[i].to==a||g[i].to==f[a]||g[i].to==son[a]) continue;
		dfs2(g[i].to,g[i].to);
	}
}
ll query(int a){
	int ans=0;
	for(;a;a-=lowbit(a)) ans+=dis[a];
	return ans;
}
ll sz[M<<2],len[M<<2],sum[M<<2];
void pushup(int o){
	len[o]=len[o<<1]+len[o<<1|1];
	sum[o]=sum[o<<1]+sum[o<<1|1];
}
void pushdown(int o){
	if(!sz[o]) return;
	sz[o<<1]+=sz[o];
	sz[o<<1|1]+=sz[o];
	sum[o<<1]+=len[o<<1]*sz[o];
	sum[o<<1|1]+=len[o<<1|1]*sz[o];
	sz[o]=0;
}
void build(int o,int l,int r){
	if(l==r){
		sz[o]=tot[rf[l]];len[o]=side[rf[l]];
		sum[o]=sz[o]*len[o];
		return;
	}
	int mid=l+r>>1;
	build(o<<1,l,mid);
	build(o<<1|1,mid+1,r);
	pushup(o);
}
void update_pot(int o,int l,int r,int L,int R,ll p){
	if(L<=l&&r<=R){
		sz[o]+=p;
		sum[o]+=p*len[o];
		return;
	}
	int mid=l+r>>1;
	pushdown(o);
	if(L<=mid) update_pot(o<<1,l,mid,L,R,p);
	if(R>mid) update_pot(o<<1|1,mid+1,r,L,R,p);
	pushup(o);
}
void update_sid(int o,int l,int r,int p,ll v){
	if(l==r){
		len[o]=v;
		sum[o]=v*sz[o];
		return;
	}
	pushdown(o);
	int mid=l+r>>1;
	if(p<=mid) update_sid(o<<1,l,mid,p,v);
	else update_sid(o<<1|1,mid+1,r,p,v);
	pushup(o);
}
ll query(int o,int l,int r,int L,int R){
	if(L<=l&&r<=R) return sum[o];
	int mid=l+r>>1;ll ans=0;
	pushdown(o);
	if(L<=mid) ans=query(o<<1,l,mid,L,R);
	if(R>mid) ans+=query(o<<1|1,mid+1,r,L,R);
	return ans;
}
ll getans(int a){
	ll now=0;
	for(int i=a;i;i=f[top[i]])
		now+=query(1,1,n,sp[top[i]],sp[i]);
	return now;
}
void add_pot(int a,ll b){
	for(int i=a;i;i=f[top[i]]){
		update_pot(1,1,n,sp[top[i]],sp[i],b-P[a]);
	}
	all+=b-P[a];	
	P[a]=b;
}
void add_sid(int a,ll b){
	++a;
	add_area(dfn[a],dfn[a]+sze[a]-1,b-side[a]);
	update_sid(1,1,n,sp[a],b);
	side[a]=b;
}
void answer(int p){
	ll t1=sum[1];
	ll t2=1ll*all*query(dfn[p]);
	ll t3=getans(p);
	printf("%lld\n",t1+t2-(t3<<1));
}
int a,x;
ll b;
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%lld",&P[i]),all+=P[i];
	for(int i=1;i<n;i++){
		scanf("%d%lld",&a,&b);
		add(a,i+1,b);side[i+1]=b;f[i+1]=a;
	}
	dfs1(1,0);
	tim=0;
	dfs2(1,1);
	build(1,1,n);
	while(m--){
		scanf("%d",&a);
		if(a==1){
			scanf("%d%lld",&x,&b);
			add_pot(x,b);			
		}else if(a==2){
			scanf("%d%lld",&x,&b);
			add_sid(x,b);
		}else if(a==3){
			scanf("%d",&x);
			answer(x);
		}
	}
	return 0;
}