五分钟教会你任何进制之间的互相转换

什么是进制？

进制也就是进位制，是人们规定的一种进位方法。对于任何一种进制—X进制，就表示某一位置上的数运算时是逢X进一位。十进制是逢十进一，十六进制是逢十六进一，二进制就是逢二进一，以此类推，x进制就是逢x进位。

常见的进制

二进制 Binary
八进制 Octal
十进制 Decimal
十六进制 Hexadecimal

对应关系

二进制	八进制	十进制	十六进制
0000	0	0	0
0001	1	1	1
0010	2	2	2
0011	3	3	3
0100	4	4	4
0101	5	5	5
0110	6	6	6
0111	7	7	7
1000	10	8	8
1001	11	9	9
1010	12	10	A
1011	13	11	B
1100	14	12	C
1101	15	13	D
1110	16	14	E
1111	17	15	F

进制之间的转换

进制转换

转换关系

十转二
十转八
十转十六
二转八
二转十
二转十六
十六转二
十六转八
十六转十
……

这么多进制之间的转换，看完以后就再也不打算学了！其实根本没有那么复杂，上面的转换关系可以精简成如下关系：

十转其他
其他转十

十转X

整数部分，对X短除取余倒序
小数部分，与X相乘取整正序

X转十

按权展开求和

什么是权？

例如十进制数 111，三个“1”放在不同的位置，所代表的意义也不同。从左到右分别为 100，10，1。还可以表示为： $1×10^2$ ， $1×10^1$ ， $1×10^0$ 。
这里面 $10^x$ 就叫做权，二进制则为 $2^x$ ，八进制为 $8^x$ ，以此类推。

OK，现在是不是简单了。到这里可能有人会有疑问了，你只说了十进制和其他进制之间的转换，那其他进制之间的转换呢？别着急往下看：

我们以二进制和十六进制的转换为例，首先大家看一下上面那个对应关系表，很容易就会发现一个规律——四位二进制数刚刚对应一位十六进制数所表示的范围（二进制的0000-1111对应十六进制的0-F）。OK知道这个规律以后，一切都变得明了了。那么将9F(H)转成二进制就可以分别将9和F转成四位二进制数，然后组合起来就好了，如下图：

十六进制转二进制

那么9F(H)转成二进制数就是10011111，二进制转十六进制就是先讲二进制数四位一组的规则分好组，然后转成对应的十进制数（超过十的用A-F表示）。八进制和二进制的转换也是这个规律，只不过对应关系变成了三位二进制数对应一位八进制数而已。

PS：八进制和十六进制之间不能直接转换，八进制需要先转成二进制或十进制，在有对应的二进制或十进制转成十六进制，反过来也一样。

还没想好

十进制转其他进制的短除法我觉得还是有点麻烦，有没有更简单的方法呢？当然有啦，哈哈哈！其实方法很简单，就三个字——找节点。

节点表

二进制的权	二进制数	十进制
$2^0$	1	1
$2^1$	10	2
$2^2$	100	4
$2^3$	1000	8
$2^4$	10000	16
$2^5$	100000	32
$2^6$	1000000	64
$2^7$	10000000	128
$2^8$	100000000	256
$2^9$	1000000000	512
2¹⁰	10000000000	1024

　　
这个表有什么用呢？比如我们要将578转成二进制，我们不用短除法，我们看看上面表中与578最相近的数是多少？很容易就找到512，它是 $2^9$ 对应的二进制数是1000000000（一个1后面九个0，2的n次方对应的二进制数是1后面n个0），578-512=66；再去表中找和66最相近的数，很容易找到了64，它是 $2^6$ ，对应的二进制数是100000，66-64=2；2对应的二进制是10。这样很容易就计算出578对应的二进制数为1001000010。

十转八和十转十六同理，不再赘述了。

总结

通过上面的分析，我们知道只要掌握了十进制和任何一种进制之间的转换，那么我们就掌握了所有进制之间的互相转换了。而且我们还知道下面的规则：

十转X

整数部分，对X短除取余倒序
小数部分，与X相乘取整正序

还可以通过找节点的方式进一步简化

X转十

按权展开求和