MATLAB绘制B样条曲线

1 B样条曲线

1.1 B样条曲线定义

B样条方法具有表示与设计自由型曲线曲面的强大功能，是形状数学描述的主流方法之一，另外B样条方法是目前工业产品几何定义国际标准——有理B样条方法(NURBS)的基础。B样条方法兼备了Bezier方法的一切优点，包括几何不变性，仿射不变性等等，同时克服了Bezier方法中由于整体表示带来不具有局部性质的缺点（移动一个控制顶点将会影响整个曲线）。B样条曲线方程可写为：

$$p(u) = \sum_{i=0}^n d_iN_{i,k}(u)$$
其中， $d_i(i=0,1...n)$为控制顶点（坐标）， $N_{i,k}(i=0,1...n)$为 $k$次规范B样条基函数，最高次数是 $k$。基函数是由一个称为节点矢量的非递减参数 $u$的序列 $U$： $u_0\le u_1\le ...\le u_{n+k+1}$所决定的 $k$次分段多项式。
B样条的基函数通常采用Cox-deBoor递推公式：
$$\cases{ N_{i,0}(u) = \cases {1, \space \space if\space \space u_i\le u \le u_{i+1}\cr 0,\space \space others}\cr N_{i,k}=\dfrac {u-u_i}{u_{i+k}-u_i}N_{i,k-1}(u)+ \dfrac {u_{i+k+1}-u}{u_{i+k+1}-u_{i+1}}N_{i+1,k-1}(u)\cr define\space \space \dfrac{0}{0} = 0 }$$
式中 $i$ 为节点序号， $k$ 是基函数的次数，共有 $n+1$个控制顶点。 注意区分节点和控制顶点，节点是在节点矢量$U$中取得，控制顶点则是坐标点，决定B样条的控制多边形。Cox-deBoor递推公式是B样条曲线的定义的核心，该部分在程序中实现可采用递归的方式：

% BaseFunction.m文件
function Nik_u = BaseFunction(i, k , u, NodeVector)
% 计算基函数Ni,k(u),NodeVector为节点向量

if k == 0       % 0次B样条
    if (u >= NodeVector(i+1)) && (u < NodeVector(i+2))
        Nik_u = 1.0;
    else
        Nik_u = 0.0;
    end
else
    Length1 = NodeVector(i+k+1) - NodeVector(i+1);
    Length2 = NodeVector(i+k+2) - NodeVector(i+2);      % 支撑区间的长度
    if Length1 == 0.0       % 规定0/0 = 0
        Length1 = 1.0;
    end
    if Length2 == 0.0
        Length2 = 1.0;
    end
    Nik_u = (u - NodeVector(i+1)) / Length1 * BaseFunction(i, k-1, u, NodeVector) ...
        + (NodeVector(i+k+2) - u) / Length2 * BaseFunction(i+1, k-1, u, NodeVector);
end

所给程序可用于计算基函数$N_{i,k}(u)$的值，程序中对不同类型的B样条曲线区别在于节点矢量 NodeVector 的取值不同。

1.2 B样条曲线的分类

根据节点矢量中节点的分布情况不同，可以划分4中类型的B样条曲线：
1. 均匀B样条曲线
节点矢量中节点为沿参数轴均匀或等距分布。
2. 准均匀B样条曲线
其节点矢量中两端节点具有重复度$k+1$，即$u_0=u_1={...}=u_{k}$，$u_{n+1}=u_{n+2}={...}=u_{n+k+1}$，所有的内节点均匀分布，具有重复度1。
3. 分段Bezier曲线
其节点矢量中两端节点的重复度与类型2相同，为$k+1$。不同的是内节点重复度为$k$。该类型有限制条件，控制顶点数减1必须等于次数的正整数倍，即$\dfrac nk=\text 正整数$。
4. 一般非均匀B样条曲线
对任意分布的节点矢量$U=[u_0,u_1{...}u_{n+k+1}]$，只要在数学上成立都可选取。

2 B样条曲线的绘制

2.1 节点矢量的确定

不同类型的B样条曲线区别主要在于节点矢量，对于具有$n+1$个控制顶点$(P_0,P_1,{...},P_n)$的 $k$ 次B样条曲线，无论是哪种类型都具有$n+k+2$个节点$([u_0,u_1{...}u_{n+k+1}])$。

根据图示，三种类型的B样条曲线对应的节点矢量分别为：

$$[0 \dfrac 17 \dfrac 27\dfrac 37\dfrac 47\dfrac 57\dfrac 67 1]$$ $$[0 \space 0\space 0 \dfrac 13\dfrac 23 1 \space 1\space 1]$$ $$[0 \space 0\space 0 \dfrac 12\dfrac 12 1 \space 1\space 1]$$ 需要注意的是分段Bezier曲线必须满足 $\dfrac nk=\text 正整数$。

这里给出准均匀B样条和分段Bezier曲线的生成节点矢量的代码，均匀B样条的很简单就不列出了。假设共n+1个控制顶点，k次B样条，输入参数为 n, k ，输出节点矢量NodeVector。

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准均匀B样条曲线的节点矢量生成：

% U_quasi_uniform.m文件
function NodeVector = U_quasi_uniform(n, k)
% 准均匀B样条的节点向量计算，共n+1个控制顶点，k次B样条
NodeVector = zeros(1, n+k+2);
piecewise = n - k + 1;       % 曲线的段数
if piecewise == 1       % 只有一段曲线时，n = k
    for i = n+2 : n+k+2
        NodeVector(1, i) = 1;
    end
else
    flag = 1;       % 不止一段曲线时
    while flag ~= piecewise
        NodeVector(1, k+1+flag) = NodeVector(1, k + flag) + 1/piecewise;
        flag = flag + 1;
    end
    NodeVector(1, n+2 : n+k+2) = 1;
end

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分段Bezier曲线的节点矢量生成：

% U_piecewise_Bezier.m文件
function NodeVector = U_piecewise_Bezier(n, k)
% 分段Bezier曲线的节点向量计算，共n+1个控制顶点，k次B样条
% 分段Bezier端节点重复度为k+1，内间节点重复度为k,且满足n/k为正整数

if ~mod(n, k) && (~mod(k, 1) && k>=1)   % 满足n是k的整数倍且k为正整数
    NodeVector = zeros(1, n+k+2);   % 节点矢量长度为n+k+2
    NodeVector(1, n+2 : n+k+2) = ones(1, k+1);  % 右端节点置1

    piecewise = n / k;      % 设定内节点的值
    Flg = 0;
    if piecewise > 1
        for i = 2 : piecewise
            for j = 1 : k
                NodeVector(1, k+1 + Flg*k+j) = (i-1)/piecewise;
            end
            Flg = Flg + 1;
        end
    end

else
    fprintf('error!\n');
end

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2.2 B样条曲线的绘制

根据B样条曲线的定义公式，曲线上任一点坐标值是参数变量$u$的函数，用矩阵形式表示

$$p(u)=\pmatrix{ d_0 & d_1 & \ldots & d_n} \pmatrix{N_{0,k}(u)\cr N_{1,k}(u)\cr \vdots \cr N_{n,k} (u)}$$ 只需要确定 控制顶点$d_i$、曲线的次数$k$ 以及基函数$N_{i,k}(u)$，就完全确定了曲线。

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B样条曲线的绘制函数：

% DrawSpline.m文件
function DrawSpline(n, k, P, NodeVector)
% B样条的绘图函数
% 已知n+1个控制顶点P(i), k次B样条，P是2*(n+1)矩阵存控制顶点坐标, 节点向量NodeVector
plot(P(1, 1:n+1), P(2, 1:n+1),...
                    'o','LineWidth',1,...
                    'MarkerEdgeColor','k',...
                    'MarkerFaceColor','g',...
                    'MarkerSize',6);
line(P(1, 1:n+1), P(2, 1:n+1));
Nik = zeros(n+1, 1);
for u = 0 : 0.005 : 1-0.005
    for i = 0 : 1 : n
        Nik(i+1, 1) = BaseFunction(i, k , u, NodeVector);
    end
    p_u = P * Nik;
    if u == 0
        tempx = p_u(1,1);
        tempy = p_u(2,1);
        line([tempx p_u(1,1)], [tempy p_u(2,1)],...
            'Marker','.','LineStyle','-', 'Color',[.3 .6 .9], 'LineWidth',3);
    else
        line([tempx p_u(1,1)], [tempy p_u(2,1)],...
            'Marker','.','LineStyle','-', 'Color',[.3 .6 .9], 'LineWidth',3);
        tempx = p_u(1,1);
        tempy = p_u(2,1);
    end
end

调用 DrawSpline(n, k, P, NodeVector) 函数就能绘制曲线，注意输入变量要正确。

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下面给出绘制三种不同B样条曲线的命令流，可以参考比较每种类型之间的区别。

% 绘制三种类型的B样条曲线，需要前面所给的所有.m文件
clear all;
%控制顶点
P = [9.036145, 21.084337, 37.607573, 51.893287, 61.187608;
    51.779661, 70.084746, 50.254237, 69.745763, 49.576271];

n = 4; k = 2;

flag = 2;
% flag = 1，绘制均匀B样条曲线
% flag = 2, 绘制准均匀B样条曲线
% flag = 3, 绘制分段Bezier曲线

switch flag
    case 1
        NodeVector = linspace(0, 1, n+k+2); % 均匀B样条的节点矢量

        % 绘制样条曲线
        plot(P(1, 1:n+1), P(2, 1:n+1),...
                        'o','LineWidth',1,...
                        'MarkerEdgeColor','k',...
                        'MarkerFaceColor','g',...
                        'MarkerSize',6);
        line(P(1, 1:n+1), P(2, 1:n+1));
        Nik = zeros(n+1, 1);
        for u = k/(n+k+1) : 0.001 : (n+1)/(n+k+1)
            % for u = 0 : 0.005 : 1
            for i = 0 : 1 : n
                Nik(i+1, 1) = BaseFunction(i, k , u, NodeVector);
            end
        p_u = P * Nik;
        line(p_u(1,1), p_u(2,1), 'Marker','.','LineStyle','-', 'Color',[.3 .6 .9]);
        end
    case 2
        NodeVector = U_quasi_uniform(n, k); % 准均匀B样条的节点矢量
        DrawSpline(n, k, P, NodeVector);
    case 3
        NodeVector = U_piecewise_Bezier(n, k);  % 分段Bezier曲线的节点矢量
        DrawSpline(n, k, P, NodeVector);
    otherwise
        fprintf('error!\n');
end

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三种类型的B样条曲线：
1. 均匀B样条曲线

2. 准均匀B样条曲线

3. 分段Bezier曲线

参考文献：

[1] 施法中. 计算机辅助几何设计与非均匀有理B样条(修订版)[M]. 北京: 高等教育出版社, 2013 : 217-248.