5. WGAN
WGAN的全称是WassersteinGAN，它提出了用Wasserstein距离（也称EM距离）去取代JS距离，这样能更好的衡量两个分布之间的divergence。我们先介绍一下什么是EM距离。
5.1 EM距离
EM距离的全称是EarthMover（推土距离），它的定义非常直观：假设有两堆数据分布P和Q，看作两堆土，现在把P这堆土推成Q这堆土所需要的最少的距离就是EM距离。
假设P的分布是上图棕色柱块区域，Q的分布是上图绿色柱块区域，现在需要把P的分布推成Q的分布，我们可以制定出很多不同的MovingPlan（推土计划）。
这些不同的推土计划都能把分布P变成分布Q，但是它们所要走的平均推土距离是不一样的，我们最终选取最小的平均推土距离值作为EM距离。例如上面这个例子的EM距离就是下面这个推土方案对应的值。
那为了更好地表示这个推土问题，我们可以把每一个moving plan转化为一个矩阵图：
每一个色块表示P分布到Q分布需要分配的土量（移动距离），那每一行的色块之和就是P分布该行位置的柱高度，每一列的色块之和就是Q分布该列位置的柱高度。于是我们的求解目标表达式就如下所示：
表达式中γ函数计算当前计划下
到
的推土量，||-||表示二者间的推土距离。
那如果这个时候我们想直接求解这个表达式的话，是非常麻烦的，因为需要穷举所有的moving plan然后再选择其最小值。如果我们对之前的理论有印象的话，我们会想到这个optimization problem依然可以交给discriminator来解决。
于是接下来要做的，就是去改discriminator，让它能够衡量
与
之间的wasserstein距离。
5.2 WGAN
下面我们直接给出WGAN的Discriminator的目标表达式：
这个表达式的求解结果就是与之间的wasserstein距离。至于为什么会等于Was距离，详细证明请参阅WGAN paper附录当中的证明部分，因为过于繁琐，在此就不赘述(逃)。反正目前我们构造出了求解was距离的discriminator。
关于这个表达式，值得注意的是，D被加上了1-Lipschitz function（如下图）的限制。
先说明一下，为什么要对discriminator做限制。传统GANs的discriminator输出的结果是在(0,1)区间之内，但是在WGAN中输出的结果是was距离，was距离是没有上下界的，这意味着，随着训练进行，的was值会越来越小，的was值会越来越大，discriminator将永远无法收敛。
因此，为了解决这个问题，我们需要给discriminator加上一些限制，让不会持续地一直降低，让也不会持续地一直升高，简言之，就是让D函数变得更平滑一些。
但是我们知道，一般的神经网络的训练，参数都是没有限制的，而现在我们希望给discriminator的参数增加一些限制，其实是不太好做的。
在最原始的WGAN中，采用的做法是weight clipping，很简单，设定一个上限c与下限-c，如果更新参数w大于c，改成w=c；如果更新参数w小于-c，改成w=-c。这样D在
与处的值就不会被无限拉远。但是这个方法并没有让D真的限制在1-Lipschitz function内，所以原始的WGAN并没有严格地给出was距离计算方法。
直到后来，直到WGAN的增强版WGAN-GP，以及SNGAN被提出，才解决了这个问题。