最大子矩形问题的解决方法：悬线法

给出一道板子题

洛谷4147 玉蟾宫

题目背景

有一天，小猫rainbow和freda来到了湘西张家界的天门山玉蟾宫，玉蟾宫宫主蓝兔盛情地款待了它们，并赐予它们一片土地。

题目描述

这片土地被分成N*M个格子，每个格子里写着'R'或者'F'，R代表这块土地被赐予了rainbow，F代表这块土地被赐予了freda。

现在freda要在这里卖萌。。。它要找一块矩形土地，要求这片土地都标着'F'并且面积最大。

但是rainbow和freda的OI水平都弱爆了，找不出这块土地，而蓝兔也想看freda卖萌（她显然是不会编程的……），所以它们决定，如果你找到的土地面积为S，它们每人给你S两银子。

输入输出格式

输入格式：

第一行两个整数N,M，表示矩形土地有N行M列。

接下来N行，每行M个用空格隔开的字符'F'或'R'，描述了矩形土地。

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输出格式：

输出一个整数，表示你能得到多少银子，即(3*最大'F'矩形土地面积)的值。

输入输出样例

输入样例#1：复制

5 6 
R F F F F F 
F F F F F F 
R R R F F F 
F F F F F F 
F F F F F F

输出样例#1：复制

说明

对于50%的数据，1<=N,M<=200

对于100%的数据，1<=N,M<=1000

//花有重开日，人有少年时！致敬砍下50分的罗斯

让我们像罗斯一样，永不言弃。这道题虽然有着提高加的难度，我们仍要解决它！

这种以O(NM)的时间复杂度解决它的特殊方法，叫做悬线法。

转载一波：

定义

有效竖线：除了两个端点外，不覆盖任何一个障碍点的竖直线段。

悬线：上端覆盖了一个障碍点或者到达整个矩形上边界的有效线段。

每个悬线都与它底部的点一一对应，矩形中的每一个点（矩形顶部的点除外）都对应了一个悬线。

悬线的个数=(N-1)*M；

如果把一个极大子矩形按照横坐标的不同切割成多个与y轴平行的线段，那么其中至少有一个悬线。

如果把一个悬线向左右两个方向尽可能的移动，那么就得到了一个矩形，我们称它为悬线对应的矩形。

悬线对应的矩形不一定是极大子矩形，因为下边界可能还可以向下扩展。

设计算法：

原理：所有悬线对应矩形的集合一定包含了极大子矩形的集合。

通过枚举所有的悬线，找出所有的极大子矩形。

算法规模：

悬线个数＝(N－1)×M

极大子矩形个数≤悬线个数

具体方法：

设 H[i,j]为点(i,j)对应的悬线的长度。

L[i,j]为点(i,j)对应的悬线向左最多能够移动到的位置。

R[i,j]为点(i,j)对应的悬线向右最多能够移动到的位置。

考虑点(i,j)对应的悬线与点(i-1,j)对应的悬线的关系（递推思想）：

如果(i－1,j)为障碍点，那么，如图所示，(i,j)对应的悬线长度1，左右能移动到的位置是整个矩形的左右边界。

即 H[i,j]＝1,

L[i,j]=0,R[i,j]=m

如果(i－1,j)不是障碍点，那么，如图所示，(i,j)对应的悬线长度为(i-1,j)对应的悬线长度＋1。

即 H[i,j]＝H[i-1,j]+1

•如果(i－1,j)不是障碍点，那么，如图所示，(i,j)对应的悬线左右能移动的位置要在(i-1,j)的基础上变化。

L[i-1,j]

L[i,j]=max

(i-1,j)左边第一个障碍点的位置

•同理，也可以得到R[i,j]的递推式

R[i-1,j]

R[i,j]=min

(i-1,j)右边第一个障碍点的位置

以此思想，我们得出了解决此题的方法。

但我的第一次提交是这样写的：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define ll long long
using namespace std;
int n,m;
int map[1003][1003],xuxi[1003][1003],l[1003][1003],r[1003][1003];
char c; 
int read()
{
    char c=getchar();
    while(c!='F'&&c!='R')c=getchar();
    if(c=='F')return 1;
    else return 0;
}
int main()
{
    memset(map,0,sizeof(map));
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=1;j<=m;j++)
    {  
       map[i][j]=read();
       l[i][j]=r[i][j]=j;xuxi[i][j]=1;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=2;j<=m;j++)
    if(map[i][j]&&map[i][j-1])
    l[i][j]=l[i][j-1];
    for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=m-1;j>=1;j--)
    if(map[i][j]&&map[i][j+1])
    r[i][j]=r[i][j+1];
    int ans=0;
//注意这里出错了
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
        if(map[i][j]&&map[i-1][j])
        {
            xuxi[i][j]=xuxi[i-1][j]+1;
            l[i][j]=max(l[i][j],l[i-1][j]);
            r[i][j]=min(r[i][j],r[i-1][j]);
            ans=max(ans,xuxi[i][j]*(r[i][j]-l[i][j]+1));//这句话的位置不对
        }    
    printf("%d",ans*3);
    return 0;
}

看似没有错误，实则一交只得90······

原因是，构造这样一组数据即可卡死这个程序：

5 5

R R R R R

R R R F R

R R R R R

本该输出3，却输出了0.

所以，应该这样写，以下才是标准程序：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define ll long long
using namespace std;
int n,m;
int map[1003][1003],xuxi[1003][1003],l[1003][1003],r[1003][1003];
char c; 
int read()
{
    char c=getchar();
    while(c!='F'&&c!='R')c=getchar();
    if(c=='F')return 1;
    else return 0;
}
int main()
{
    memset(map,0,sizeof(map));
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=1;j<=m;j++)
    {  
       map[i][j]=read();
       l[i][j]=r[i][j]=j;xuxi[i][j]=1;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=2;j<=m;j++)
    if(map[i][j]&&map[i][j-1])
    l[i][j]=l[i][j-1];
    for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=m-1;j>=1;j--)
    if(map[i][j]&&map[i][j+1])
    r[i][j]=r[i][j+1];
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            if(map[i][j]&&map[i-1][j])
            {
            xuxi[i][j]=xuxi[i-1][j]+1;
            l[i][j]=max(l[i][j],l[i-1][j]);
            r[i][j]=min(r[i][j],r[i-1][j]);
            }
            ans=max(ans,xuxi[i][j]*(r[i][j]-l[i][j]+1));
        }
        
    printf("%d",ans*3);
    return 0;
}

即可轻松AC。

总结：最大子矩形，求法精妙，细节注意。