一中模拟赛10.27——球

Description

众所周知AKKing_FB有 $n(n<=5000)$个球，第i个球有两个属性 $a[i],b[i]$。 $AKKing_FB$想从中取出一些球，使得这些球的 $b[i]$之和最大。
但是这题有些奇怪的条件：
$1.$当 $AKKing_FB$取走第i颗球时，从第 $i$颗球到 $i+a[i]-1$的球都会被丢掉（需要满足 $i+a[i]-1<=n$)。然后剩余的球会重新并在一起。
$2. AKKing_FB$可以主动把当前位于第一位的球放到末尾。之后的球顺次往前。如右边所示 $1,2,3,4….n-1,n-->2,3,4,…n-1,n,1$。
$AKKing_FB$想知道他可以得到的 $b[i]$之和的最大值。

Solution

把 $a[i]$看作重量， $b[i]$看作价值，以 $n$为容量做一遍背包即可
很多人会疑惑：取了一个数之后不是会把后面的几个数也丢掉吗？但事实上，可以先把不会影响别的数的数取掉，再取这个数
感性理解就是鸽巢原理
下面理性分析一下：
设选出的位置为 $pos_{1...n}$
如果每个数都会影响别的数，那么
$pos_2-pos_1+1>a_1$
$pos_3-pos_2+1>a_2$
…
$pos_n-pos_{n-1}+1>a_{n-1}$
$pos_1-pos_n+1>a_n$
左右两边分别相加，得： $\Sigma a>n$
但是因为背包容量为 $n$，所以背包计算出的方案不可能有这种情况

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=5002;
int n,i,j,f[N],x,y;
inline char gc(){
	static char buf[100000],*p1=buf,*p2=buf;
	return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,100000,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;
}
inline int rd(){
	int x=0,fl=1;char ch=gc();
	for (;ch<48||ch>57;ch=gc())if(ch=='-')fl=-1;
	for (;48<=ch&&ch<=57;ch=gc())x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48);
	return x*fl;
}
int main(){
	n=rd();
	for (i=1;i<=n;i++){
		x=rd();y=rd();
		for (j=n;j>=x;j--) f[j]=max(f[j],f[j-x]+y);
	}
	printf("%d",f[n]);
}