2.背包问题
给几个物品，物品有不同的重量和价格。一个背包有自己的限重，不能将所有的物品都装进背包，则怎么搭配才能用这个背包装进最多价值的物品，给出背包能带来的最大价值？
以下表格为例：
| 物品 | 重量 | 价值/美元 |
|---|---|---|
| 1 | 2 | 12 |
| 2 | 1 | 10 |
| 3 | 3 | 20 |
| 4 | 2 | 15 |
背包承重为5，则怎么选择可以获得最大价值的组合？
做背包问题只要填好下面的这个表格即可。
先来看一些这个表格：
首先1表示给定的承重。承重从1开始，一直给到5，即背包的最大承重。
红框2给出了所有物品的重量和价值列表。
由动态规划一中的规律可以发现，动态规划会给出所有过程中的最优解，所以背包问题也会从背包承重为1开始计算，计算从最大承重为1的最优解一直解到最大承重为5的最优解。上面红框1就是承重从1开始增加，一直增加到5。
红框3表示选择范围为空时（就是所有物品都不能选时），能获得的最大价值为0
下面开始填表：
红框中的第一位是0，表示：
当背包承重为0，可选物品只有1号时，背包能选出的最大价值为0（因为只能选物品1，但是背包的承重又装不了1号物品）
红框中的第二位是0，情况一样；
红框中的第三位是12，表示：
当背包承重为2，可选物品只有1号时，背包能选出的最大价值是12（就是刚好装进物品1）；
红框第4、5、6位都是12，表示：
当背包的承重是4、5、6时，虽然被很重，但是只有物品一可以选，所以能选出的最大价值仍然是12.
开始填第二排：
从第二排1号框为例，开始介绍一下填表格普遍情况：
对于表格中的任意一个框，其数值F[i][j]为：
F[i][j]=max(F[i-1][j]，value[i]+F[i-1][j-weight[i]]）
其中F[i-1][j]就是红框2，F[i-1][j-weight[i]]就是红框3
可以看出，表格中的一个数值要么是上一排，它正上方那格数值;
要么是上一排，第[j-weight[i]]个数值+value[i].其中j表示当前给定的背包承重，此处是2，weight[i]表示当前物品的重量，此处是1，value[i]表示当前物品的价值，此处是10
这个表达式的意义就是，给定了一个承重j之后，对于第i个物品我有两个选择：
选择这个物品：
如果我选择了这个物品，我的背包的剩余承重是j-weight[i]，同时我剩余的可选物品是物品1–物品i-1，这样获得的价值在表格中就是红框3
不选择这个物品：
如果我不选择当前的这个物品i，我选择的结果和【给定承重为j，物品选择范围是（1—i-1）】这个条件下的结果一样，最终的价值就是红框2
根据这个规律可以填出表格中所有的值：
| 物品号 | weight，value | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | ||
| 1 | 2，12 | 0 | 0 | 12 | 12 | 12 | 12 |
| 2 | 1，10 | 0 | 10 | 12 | 22 | 22 | 22 |
| 3 | 3，20 | 0 | 10 | 12 | 22 | 30 | 32 |
| 4 | 2，15 | 0 | 10 | 15 | 25 | 30 | 37 |
可以看出，这个表格其实求出了当背包承重为0–5，可选物品从0–4时，所有最优解的情况。
JAVA描述：
public class DPpackage {
public static void main(String[] args) {
int items[][]= {
{3,25},
{2,20},
{1,15},
{4,40},
{5,50}
};
int i,j;
int F[][]=new int[items.length+1][7];
//第一排全是0
for(i=0;i<7;i++)
F[0][i]=0;
for(i=1;i<items.length+1;i++) {
F[i][0]=0; //第一列全是0
for(j=1;j<7;j++) {
if(j>=items[i-1][0]) {
F[i][j]=Math.max(F[i-1][j], F[i-1][j-items[i-1][0]]+items[i-1][1]);
}
else F[i][j]=F[i-1][j];
}
}
System.out.println(F[items.length][6]);
}
}