设在第 $x$ 天二人都 lucky，则有 $\DeclareMathOperator{\lcm}{lcm}$
$ x = y_a t_a + l_a + R_a $
$ x= y_b t_ b + l_b + R_b$
令 $L_a = r_a - l_a + 1, L_b = r_b - l_b + 1$
约束条件：
$0 \le R_a < L_a$，$0\le R_b < L_b$
$ y_a, y_b \ge 0$
写成同余方程组
\begin{cases}
x \equiv l_a + R_a \pmod{t_a} \\
x \equiv l_b + R_b \pmod{t_b}
\end{cases}
设 $x_0$ 是上述同余方程组的一个特解，则其通解可表为 $x = x_0 + k\lcm(t_a, t_b)$，$k\in\mathbb Z$ 。
容易证明，同余方程组
\begin{cases}
x \equiv r_1 \pmod{m_1} \\
x \equiv r_2 \pmod{m_2}
\end{cases}
有解的充要条件是 $\gcd(m_1,m_2) \mid (r_1 - r2)$，此充要条件亦可写成 $r_2 = r_1 + k \gcd(m_1,m_2), k\in\mathbb Z$，或者写成 $r_1 \equiv r_2 \pmod{\gcd(m_1,m_2)}$ 。
解法：二分答案。
实现：http://codeforces.com/contest/1055/submission/45569689
总结
模数不满足两两互质的同余方程组可转化为同解的模数两两互质的同余方程组。
只需要考虑两个方程构成的同余方程组
\begin{equation}
\begin{cases}
x \equiv r_1 \pmod{m_1} \\
x \equiv r_2 \pmod{m_2}
\end{cases}\label{E:1}
\end{equation}
即
\begin{equation}
\begin{cases}
x = m_1 s + r_1 \\
x = m_2 t + r_2
\end{cases}\label{E:2}
\end{equation}
$s, t$ 满足方程
\begin{equation}
m_1 s + r_1 = m_2 t + r_2 \label{E:3}
\end{equation}
根据裴蜀定理，\eqref{E:3} 有解的充要条件是 $\gcd(m_1,m_2)\mid (r_1 - r_2)$ 。以下假设此条件成立，并令 $d = \gcd(m_1,m_2)$ 。\eqref{E:3} 亦可写成
\begin{equation}
m_1 s = m_2 t + (r_2 - r_1) \label{E:4}
\end{equation}
方程 \eqref{E:4} 等价于
\begin{equation}
m_1 s \equiv r_2 - r_1 \pmod{m_2}\label{E:5}
\end{equation}
注意：一个不定方程等价于一个同余方程。要熟悉这两种形式的相互转化。
方程 \eqref{E:5} 又等价于
\begin{equation}
\frac{m_1}{d} s \equiv \frac{r_2 - r_1}{d} \pmod{ \frac{m_2}{d} } \label{E:6}
\end{equation}
解得
\begin{equation*}
s \equiv \left(\frac{m_1}{d}\right)^{-1}\frac{r_2 - r_1}{d} \pmod{ \frac{m_2}{d} }
\end{equation*}
即
\begin{equation}
s \equiv m_1^{-1} (r_2 - r_1) \pmod{ \frac{m_2}{d} } \label{E:7}
\end{equation}
其中 $m_1^{-1}$ 表示 $m_1$ 在模 $ \frac{m_2}{d} $ 下的逆元，可用扩展欧几里得算法求得。令 $ r_3 = m_1^{-1} (r_2 - r_1) $，有
\begin{equation}
s = k \frac{m_2}{d} + r_3 \label{E:8}
\end{equation}
将 \eqref{E:8} 代入 \eqref{E:2}，得
\begin{equation}
x = k \frac{m_1m_2}{d} + m_1 r_3 + r_1 \label{E:9}
\end{equation}
即
\begin{equation}
x \equiv m_1 r_3 + r_1 \pmod{ \frac{m_1 m_2}{d}} \label{E:10}
\end{equation}
至此，我们将同余方程组 \eqref{E:1} 化成了等价（同解）的同余方程 \eqref{E:10} 。