Codeforces Round #513 E. Sergey and Subway 树形dp (树+dfs) 树上任意两点距离和

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CF: 

dfs and similar    dp    trees    *2000

题意：

给定一个n个点的树，(n最大2e5)，如果原图（树）中有边 u-v, v-w ，那么现在你可以连一条边u-w；

问任意两点间最短距离的和；

思路：

开始想的对原树dfs，用dp[i][2] 分别表示到i结点距离为偶数和奇数的最小花费，但是很麻烦。。。

其实：按照题目给定的要求，我们发现原来两点间距离L，L为偶数-现在花费是L/2，L为奇数-现在花费是(L+1)/2；

正男则反？？：相当于在题目给定的基础上减少了一些花费，如上； 其实大小一样

然后我们还知道可以O(n) 的求取树上(任意两点间距离)的总和sum；我们只要知道有多少个点对(设num个)间距离是奇数就好了，然后ans = (sum+num) / 2; 

求距离为奇数的点对时，把树看作奇数层偶数层就好了，这些点对一定是奇数层和偶数层分别一个点；

ps 求树上任意两点间距离的和就是跑dfs的时候，用cnt[u]表示以u为根结点子树的大小(结点的个数)，然后cnt[u] * (n-cnt[u])

相当于算边的贡献，这条边就是u跟父结点的连边；

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define out fflush(stdout);
#define fast ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0);
#define FI first
#define SE second

typedef long long ll;
typedef pair<ll,ll> P;

const int maxn = 2e5 + 7;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const ll mod = 998244353;


ll n;
vector<int> vec[maxn];
ll ans = 0, num = 0;
ll cnt[maxn];

void dfs(int id, int f, int ce) {
    if(ce) num++;
    cnt[id] = 1;
    for(auto i : vec[id]) {
        if(i == f) continue;
        dfs(i, id, ce^1);
        cnt[id] += cnt[i];
    }
    ans += (cnt[id] * (n-cnt[id]));
}

int main() {
    scanf("%lld", &n);
    int u, v;
    for(int i = 1; i < n; ++i) {
        scanf("%d%d", &u, &v);
        vec[u].push_back(v);
        vec[v].push_back(u);
    }
    dfs(1, -1, 1);
    ans = (ans + num*(n-num)) / 2LL;
    printf("%lld\n", ans);
    return 0;
}