一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为“Start” ）。
机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为“Finish”）。
问总共有多少条不同的路径？
例如，上图是一个7 x 3 的网格。有多少可能的路径？
说明：m 和 n 的值均不超过 100。
示例 1:
输入: m = 3, n = 2 输出: 3 解释: 从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。 1. 向右 -> 向右 -> 向下 2. 向右 -> 向下 -> 向右 3. 向下 -> 向右 -> 向右
示例 2:
输入: m = 7, n = 3 输出: 28
此问题实质：求组合数C(m+n-2,m-1)
方法一（递归，时间超时）
class Solution {
public int uniquePaths(int m, int n) {
// 直接转换成组合（无序）问题 递归求解
if(m==1 || n==1) return 1;
return pathCounts(m+n-2,m-1);
}
public int pathCounts(int p,int q){
// 这里只考虑p>q的情况
if(p==1) return 1;
if(p==q) return 1;
if(q==0) return 1;
if(q==1) return p;
return pathCounts(p-1,q-1)+pathCounts(p-1,q);
}
}方法二：动态规划（基于递归的动态规划 自底向上记录每一次的值）
class Solution {
public int uniquePaths(int m, int n) {
// 直接转换成组合（无序）问题 递归求解
if(m==1 || n==1) return 1;
return pathCounts(m+n-2,m-1);
}
// 计算组合数
public int pathCounts(int p,int q){
// 保存组合数的值 用于自底向上计算（避免递归）
int temp[][]=new int[p+1][p+1];
// 初始值
for(int i=1;i<=p;i++){
temp[i][0]=1;
temp[i][i]=1;
temp[i][1]=i;
}
for(int i=3;i<=p;i++){
for(int j=2;j<i;j++){
temp[i][j]=temp[i-1][j-1]+temp[i-1][j];
if(i==p&&j==q) break;
}
}
return temp[p][q];
}
}