组合数学第四章复习

4.1 群的概念

群的定义

给定一个集合G={a,b,c,…}和集合G上的二元运算$\bullet$，并且满足以下4个条件：
1. 封闭性
2. 满足结合律
3. 存在一个单位元素e
4. 对于任意元素a都存在逆元素

称集合G在运算$\bullet$之下是一个群，也称G是一个群。元素$a\bullet b$简记为ab。

子群的定义

设G是群,H是G的子集,若H在G的原来定义的运算下也构成群,则称H为群G的子群。

群的基本性质

1. 群的单位元是唯一的
2. ab=ac => b=c，ba=ca => b=c
3. G中每一个元素的逆元素是唯一的

4.2 置换群

置换的定义

有限集合S到自身的一一对应（替换）称为S上的一个置换。

置换群的定义

n个文字有n!个置换，这n!个置换一定构成一个群,称为n个文字的对称群,记作Sn;Sn的任一子群称为置换群;

4.3 循环

【定理】任何一个置换都可以表示成若干不相交的循环的乘积。

【例】

4.4 贝恩赛德引理

共轭类

【例】

文字k的k不动置换类

设G是1,2,…,n的置换群,当然G是Sn的一个子群,若k是1到n中的某个文字,G中使文字k保持不变的置换全体,叫做G中使k保持不动的置换类,或简称k不动置换类,记以Zk 。

【例】

【定理】置换群G中任意文字k的不动置换类Zk一定是G的一个子群。

【例】G={e,(12),(34),(12)(34)}

• 在群G作用下1能变为2,2能变为1,3能变为4,4能变为3.
• 1与2属于同一类,3和4属于另一类

等价类：在群G的作用下能够与文字k相互转化的文字我们称为同一类,这样的类我们称作是一个等价类，记为Ek 。

【定理】|Ek||Zk|=|G|，k=1,2,…,n

• 例如G={e,(12),(34),(12)(34)}，|G|=4
• 文字1的等价类为：E1={1，2}，|E1|=2
• 使1不动置换类为：Z1={e,(34)}，|Z1|=2

【推论】若文字i,j属于同一个等价类,则|Zi|=|Zj|

1阶循环的个数及记法

贝恩塞特(Burnside)引理

【例】

4.5 波利亚定理

• 波利亚Polya定理中的 $\overline G$群是作用在n个对象上的置换群
• 贝恩赛德Burnside定理中的G群是在这n个对象上用m种颜色进行染色后$m^n$n个染色方案集合上的置换群
• 两个置换群是在同样的变化下得到的：$|G|=|\overline G|$
• $c_1(a_i)=m^{c(\overline a_i)}$

【例】
=