【图(上)】什么是图，抽象数据类型，怎么表示一个图

什么是图

• 表示“多对多”的关系
• 包含
  • 一组顶点：通常用V (Vertex) 表示顶点集合
  • 一组边：通常用E (Edge) 表示边的集合
    • 边是顶点对： $(v, w) \in\mathbb E$，其中 $v, w \in\mathbb V$
    • 有向边< v, w> 表示从v指向w的边（单行线）
    • 不考虑重边和自回路
      

抽象数据类型定义

• 类型名：图（Graph）
• 数据对象集：G(V,E)由一个非空的有限顶点集合V和一个有限边集合E组成（顶点不为空，边可以为空）。
• 操作集：对于任意图 $G\in\mathbb Graph$，以及 $v\in\mathbb V$, $e\in\mathbb E$
  • Graph Create()：建立并返回空图；
  • Graph InsertVertex(Graph G, Vertex v)：将v插入G；
  • Graph InsertEdge(Graph G, Edge e)：将e插入G；
  • void DFS(Graph G, Vertex v)：从顶点v出发深度优先遍历图G；
  • void BFS(Graph G, Vertex v)：从顶点v出发宽度优先遍历图G；
  • void ShortestPath(Graph G, Vertex v, int Dist[])：计算图G中顶点v到任意其他顶点的最短距离；
  • void MST(Graph G)：计算图G的最小生成树；

常用术语

网络：就是边上有权值的图

怎么在程序中表示一个图

1、邻接矩阵

问题：对于无向图的存储，怎样可以省一半空间？
用一个长度为N(N+1)/2的1维数组A存储{G₀₀,G₁₀,G₁₁,……,G_(n-1)0,…,G_(n-1)(n-1)}，
则G_ij在A中对应的下标是：

( i*(i+1)/2 + j )

对于网络，只要把G[i][j]的值定义为边
<v_i,v_j>的权重即可。

邻接矩阵优点

• 直观、简单、好理解
• 方便检查任意一对顶点间是否存在边
• 方便找任一顶点的所有“邻接点”（有边直接相连的顶点）
• 方便计算任一顶点的“度”（从该点发出的边数为“出度”，指向该点的边数为“入度”）
  • 无向图：对应行（或列）非0元素的个数
  • 有向图：对应行非0元素的个数是“出度”；对应列非0元素的个数是“入度”

邻接矩阵缺点

• 浪费空间—— 存稀疏图（点很多而边很少）有大量无效元素
  • 对稠密图（特别是完全图）还是很合算的
• 浪费时间—— 统计稀疏图中一共有多少条边

2、邻接表

邻接表优缺点

• 方便找任一顶点的所有“邻接点”
• 节约稀疏图的空间
  • 需要N个头指针+ 2E个结点（每个结点至少2个域）
• 方便计算任一顶点的“度”？
  • 对无向图：是的
  • 对有向图：只能计算“出度”；需要构造“逆邻接表”（存指向自己的边）来方便计算“入度”
• 不能检查任意一对顶点间是否存在边